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中考数学一轮复习 命题与证明
一．选择题（共10小题）
1．（2024 梁溪区校级二模）下列命题中，真命题是　　
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．（2024 松江区二模）下列命题中假命题是　　
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
3．（2024 镇海区校级模拟）能说明命题“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是　　
A． B． C． D．
4．（2024 芙蓉区校级模拟）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中　　
A．两个锐角都大于 B．两个锐角都小于
C．两个锐角都不大于 D．两个锐角都等于
5．（2024 锡山区校级一模）下列命题中，真命题是　　
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．正方形的两条对角线相等，但不互相垂直平分
D．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质
6．（2024 宣化区一模）要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是　　
A． B．
C． D．
7．（2024 绥化三模）下列命题中，真命题的个数是　　
①内错角相等；
②若函数是关于的一次函数，则的值是；
③三角形的三条高相交于同一点；
④在同一平面内，若，，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024 肇源县三模）下列命题：
①三个点确定一个圆；
②三角形的外心到三个顶点的距离相等；
③相等的圆周角所对的弧相等；
④平分弦的直径垂直于弦；
⑤半径为5的圆中，有一条弦长为8，则这条弦到它所对弧的中点的距离是2．
其中正确的个数有　　
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2024 凤凰县模拟）下列命题中是真命题的是　　
A．内错角相等
B．如果，那么
C．对顶角相等
D．两边及其一角分别相等的两个三角形全等
10．（2024 渠县校级模拟）下列命题是真命题的是　　
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．边形的外角和为
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
二．填空题（共10小题）
11．（2024 海淀区一模）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见图：
小云参与了所有活动．
（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 　　；
（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 　　．
12．（2024 长春）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点经过的路径长至少为 　　．（结果保留
13．（2024 连云港）如图，在△中，，，．点在边上，过点作，垂足为，过点作，垂足为．连接，取的中点．在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长为 　　．
14．（2024 湖南三模）在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色．
小雅说：“红色球在我手上”；
小培说：“红色球不在我手上”；
小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”．
三个同学只有一个说对了，则红色球在 　　的手上．
15．（2024 临安区二模）关于一元二次方程，有以下命题：
①若，则；
②若该方程的两根为和1，则；
③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；
④若是该方程的一个根，则一定是方程的一个根．
其中真命题是 　　（只需填写序号）
16．（2024 包河区二模）命题“如果，互为相反数，那么”的逆命题为：　　．
17．（2024 江阴市校级模拟）“同位角相等”的逆命题是　 　．
18．（2024 宿迁）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 　　．
19．（2024 河北模拟）已知正方形和正六边形边长均为1，如图所示，把正方形放置在正六边形外，使边与边重合，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形外绕点逆时针旋转，使边与边重合，完成第一次旋转；再绕点逆时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转；此时点经过路径的长为　　．若按此方式旋转，共完成六次，在这个过程中点，之间距离的最大值是　　．
20．（2024 清远模拟）已知下列命题：①若，则；②对顶角相等；③平行四边形的对角线互相平分；④相等的圆心角所对的弧相等，其中原命题与逆命题均为真命题的序号是 　　．
三．解答题（共5小题）
21．（2024 重庆二模）如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点作的垂线，垂足为点，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空：
（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）．
（2）证明：，
平分，
　　．
在和中，
．
．
，
，
　　．
小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么 　　．
22．（2024 红山区二模）学行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，交于点，垂足为点．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点．
求证：．
证明：四边形是平行四边形，
，
①　　，②　　
垂直平分，
③　　，
又④　　，⑤　　
，
．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点⑥　　．
23．（2024 沙坪坝区模拟）如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点作的垂线，垂足为点，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）．
（2）证明：，
．
平分，
①　　．
在和中，
．
③　　．
，
，
．
小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：
如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么④　　．
24．（2024 沙坪坝区自主招生）学行四边形后，小高进行了拓展性探究．她发现，如果作平行四边形一组对边与同一条对角线所组成的角的平分线，那么这两条角平分线截另一对角线所得的线段被对角线的交点平分，其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的平分线，交于点．（只保留作图痕迹）
已知：如图，在中，，交于点，平分交于点，平分交于点．
求证：．
证明：四边形是平行四边形，
，①　　．
．
又平分，平分，
，②　　．
．
又③　　，，
．
．
小高再进一步研究发现，过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段④　　．
25．（2024 吉州区模拟）如图1，是一款常见的海绵拖把，图2是其平面示意图，是拖把把手，是把手的一个固定点，海绵安装在两片活动骨架，上，骨架的端点只能在线段上移动，当海绵完全张开时，，分别与重合；当海绵闭合时，，与重合．已知直杆，．
（1）若，求的长（结果保留根号）
（2）若，求的长（结果保留小数点后一位）
（3）海绵从完全张开到闭合的过程中，直接写出的中点运动的路径长．（参考数据：，，取
中考数学一轮复习 命题与证明
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024 梁溪区校级二模）下列命题中，真命题是　　
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】
【考点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；命题与定理
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力
【分析】根据平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定定理逐一判断即可．
【解答】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是真命题，符合题意；
、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意；
、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了判断命题真假，平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定，熟知相关判定定理是解题的关键．
2．（2024 松江区二模）下列命题中假命题是　　
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】
【考点】正方形的判定；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；菱形的判定与性质；命题与定理
【专题】推理能力；推理填空题
【分析】由对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，得是假命题，而，，是真命题，故选：．
【解答】解：由对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，
得是假命题，
而，，是真命题，
故选：．
【点评】本题主要考查了真命题，解题关键是正确判断命题的真假．
3．（2024 镇海区校级模拟）能说明命题“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】算术平方根；命题与定理
【专题】实数；推理能力
【分析】根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可．
【解答】解：当时，，
说明命题“对于任何实数，”是假命题，
故选：．
【点评】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4．（2024 芙蓉区校级模拟）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中　　
A．两个锐角都大于 B．两个锐角都小于
C．两个锐角都不大于 D．两个锐角都等于
【答案】
【考点】反证法
【专题】常规题型
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，
应先假设两个锐角都大于．
故选：．
【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5．（2024 锡山区校级一模）下列命题中，真命题是　　
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．正方形的两条对角线相等，但不互相垂直平分
D．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质
【答案】
【考点】菱形的性质；正方形的性质；正方形的判定；命题与定理
【专题】应用题
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：、可判断为菱形，故本选项错误，
、对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确，
、正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，故本选项错误，
、菱形的对角线不一定相等，故本选项错误，
故选：．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（2024 宣化区一模）要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是　　
A． B．
C． D．
【考点】：命题与定理
【专题】67：推理能力；：与圆有关的位置关系
【分析】根据矩形的性质举出反例即可得出答案．
【解答】解：如图所示，有两个角是直角的圆内接四边形不一定是矩形，
故选：．
【点评】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
7．（2024 绥化三模）下列命题中，真命题的个数是　　
①内错角相等；
②若函数是关于的一次函数，则的值是；
③三角形的三条高相交于同一点；
④在同一平面内，若，，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【考点】一次函数的定义；垂线；同位角、内错角、同旁内角；平行线的判定；三角形的角平分线、中线和高；命题与定理
【专题】一次函数及其应用；线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力
【分析】利用平行线的性质、一次函数的定义、三角形的高线的定义及两直线的位置关系等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②若函数是关于的一次函数，则的值是，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③三角形的三条高所在直线相交于同一点，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④在同一平面内，若，，则，正确，是真命题，符合题意．
真命题有1个，
故选：．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
8．（2024 肇源县三模）下列命题：
①三个点确定一个圆；
②三角形的外心到三个顶点的距离相等；
③相等的圆周角所对的弧相等；
④平分弦的直径垂直于弦；
⑤半径为5的圆中，有一条弦长为8，则这条弦到它所对弧的中点的距离是2．
其中正确的个数有　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【考点】线段垂直平分线的性质；垂径定理；圆周角定理；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；命题与定理
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力
【分析】根据圆的基本性质判断选项的正确性．
【解答】解：①任意不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；
②三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故原命题正确；
③同圆或等圆内，相等的圆周角所对的弧相等，故原命题错误；
④平分弦的直径垂直于弦，故原命题正确；
⑤如图：
在中，弦，半径；
过圆心作直径，且于点，连接；
则，，
由勾股定理得：，
则，；
，且为的直径，
点、分别为、的中点，
弦中点到弦所对应的弧的中点的距离分别为2或8，故原命题错误；
综上所述正确的有2个．
故选：．
【点评】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握圆周角定理、垂径定理、三角形外心的性质和确定圆的条件．
9．（2024 凤凰县模拟）下列命题中是真命题的是　　
A．内错角相等
B．如果，那么
C．对顶角相等
D．两边及其一角分别相等的两个三角形全等
【答案】
【考点】全等三角形的判定；同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角；命题与定理
【分析】利用全等三角形的判定．根据平行线的性质、对顶角相等、全等三角形的判定进行判断即可．
【解答】解：．内错角不一定相等，则“内错角相等”是假命题，因此选项不符合题意；
．如果，那么，则“如果，那么”是假命题，因此选项不符合题意；
．对顶角相等，原命题是真命题，因此选项符合题意；
．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，而两边及其一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，因此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查的判断命题真假，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
10．（2024 渠县校级模拟）下列命题是真命题的是　　
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．边形的外角和为
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】
【考点】命题与定理
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力
【分析】根据三角形的外角性质、多边形的外角和、矩形的性质、平行四边形的判定定理判断即可．
【解答】解：、三角形的外角大于它的任何一个与它不相邻的内角，本选项说法是假命题；
、边形的外角和为，本选项说法是真命题；
、矩形的对角线相等且平分，不一定互相垂直，本选项说法是假命题；
、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法是假命题；
故选：．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二．填空题（共10小题）
11．（2024 海淀区一模）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见图：
小云参与了所有活动．
（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 　鲁班锁　；
（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 　　．
【答案】（1）鲁班锁；
（2）1枚、2枚或3枚．
【考点】推理与论证
【专题】推理填空题；分类讨论；猜想归纳；推理能力
【分析】（1）因为小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个，所以推断小云只能参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“币”，足够她参与其余四个活动；
（2）小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功，所以推断小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁，分别讨论参与的第一个活动为华容道、魔方或鲁班锁，最终剩下的“币”数量的可能．
【解答】解：（1）小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个，
小云用活动前发放的一枚“币”参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“币”，再次参与了其余四个活动，未挑战成功，
故答案为：鲁班锁；
（2）小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功，
小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁，
若参与的第一个活动为华容道，则参与的第四个活动可能为24点、数独、魔方或鲁班锁，最终剩下的“币”数量可能是1枚、2枚或3枚，
若参与的第一个活动为魔方，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或鲁班锁，最终剩下的“币”数量可能是1枚、2枚或3枚，
若参与的第一个活动为鲁班锁，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或魔方，最终剩下的“币”数量可能是2枚或3枚，
故答案为：1枚、2枚或3枚．
【点评】本题考查了推理能力，关键是注意分类讨论．
12．（2024 长春）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点经过的路径长至少为 　　．（结果保留
【答案】．
【考点】含30度角的直角三角形；旋转的性质；轨迹
【专题】几何直观
【分析】根据很容易得出点的运动轨迹是弧，再用弧长公式求解即可．
【解答】解：有题可知点经过的轨迹是以为圆心的弧．
，
，
，
弧得长度为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查点的运动轨迹、弧长公式，识别出点的运动轨迹和熟练掌握弧长公式是解题关键．
13．（2024 连云港）如图，在△中，，，．点在边上，过点作，垂足为，过点作，垂足为．连接，取的中点．在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长为 　　．
【考点】含30度角的直角三角形；轨迹
【专题】一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；推理能力
【分析】以为原点，建立坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与，重合时点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可．
【解答】解：方法一：以为原点，建立坐标系，过点作
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，，
四边形为矩形，
，
，
为，的中点，
，
令，
，
点在直线上运动，
当点与重合时，，此时，
当点与重合时，，此时，
点所经过的路径长为：，
方法二：在上运动，运动路径为线段，为中点，
的运动路径亦为线段，
当与重合时，，当与重合时，，
点所经过的路径长为：，
故答案为：．
【点评】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，综合运用这些性质是解题的关键．
14．（2024 湖南三模）在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色．
小雅说：“红色球在我手上”；
小培说：“红色球不在我手上”；
小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”．
三个同学只有一个说对了，则红色球在 　小培　的手上．
【考点】推理与论证
【专题】证明题；推理能力
【分析】分别假设小雅、小培和小粹三个同学，结合题意推论，得出结论．
【解答】解：假设小雅说的是真话，则红桃在小雅手上，所以小培说的是真话，不合题意，
假设小培说的是真话，小雅说的是假话，则小粹说的是真话，不合题意，
假设小粹说的是真话，则小雅说的是假话，则小培说的就是假话了，符合题意，
所以红桃在小培手上．
故答案为：小培．
【点评】本题考查的是推理与论证，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
15．（2024 临安区二模）关于一元二次方程，有以下命题：
①若，则；
②若该方程的两根为和1，则；
③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；
④若是该方程的一个根，则一定是方程的一个根．
其中真命题是 　①②④　（只需填写序号）
【答案】①②④．
【考点】一元二次方程的解；根的判别式；根与系数的关系；命题与定理
【专题】一元二次方程及应用；运算能力
【分析】由得，即得，判断①是真命题；由该方程的两根为和1得，，即得，判断②是真命题；由有两个相等的实数根知，而的判别式：，因的符号不确定，故方程根的情况不确定，判断③是假命题；由是该方程的一个根得，又，即可得，是的一个根，判断④是真命题．
【解答】解：若，则，
，故①是真命题；
若该方程的两根为和1，则，
，
，故②是真命题；
若有两个相等的实数根，则，
的判别式：，
的符号不确定，
方程根的情况不确定，故③是假命题；
若是该方程的一个根，则，
，
，
，
，
是的一个根，故④是真命题；
真命题有：①②④；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．
16．（2024 包河区二模）命题“如果，互为相反数，那么”的逆命题为：　如果，那么、互为相反数　．
【答案】如果，那么、互为相反数．
【考点】有理数的加法；相反数；命题与定理
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，进而利用举反例判断命题正确性即可．
【解答】解：命题“如果、互为相反数，那么”的逆命题是：如果，那么、互为相反数．
故答案为：如果，那么、互为相反数．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
17．（2024 江阴市校级模拟）“同位角相等”的逆命题是　相等的角是同位角　．
【考点】：命题与定理
【分析】“同位角相等”的题设为两个角为同位角，结论为这两个角相等，然后交换题设与结论即可得到原命题的逆命题．
【解答】解：“同位角相等”的逆命题为：相等的两个角为同位角．
故答案为：相等的角是同位角．
【点评】本题考查了逆命题，关键找出题设和结论部分，然后交换题设和结论即为逆命题．
18．（2024 宿迁）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 　同位角相等，两直线平行　．
【考点】命题与定理
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
【解答】解：原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
19．（2024 河北模拟）已知正方形和正六边形边长均为1，如图所示，把正方形放置在正六边形外，使边与边重合，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形外绕点逆时针旋转，使边与边重合，完成第一次旋转；再绕点逆时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转；此时点经过路径的长为　　．若按此方式旋转，共完成六次，在这个过程中点，之间距离的最大值是　　．
【考点】：旋转的性质；：正多边形和圆；：轨迹
【专题】558：平移、旋转与对称；64：几何直观
【分析】通过旋转，如图，易知点旋转的角转为，即可以求出点的路径的长度即为；点、点的最大距离，即当点运动到最高点时与点的距离．
【解答】解：
如图点的运动轨迹如虚线所示，
第二次旋转时，点的位置为，；
在运动过程中，点，间的距离的最大值为线段
故答案为：；
【点评】此题主要考查正多边形的性质，正多边形旋转的性质，关键在于通过画图理解并找出旋转后的位置变化．
20．（2024 清远模拟）已知下列命题：①若，则；②对顶角相等；③平行四边形的对角线互相平分；④相等的圆心角所对的弧相等，其中原命题与逆命题均为真命题的序号是 　③　．
【答案】③．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；绝对值；平行四边形的判定与性质；命题与定理
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；实数；圆的有关概念及性质；推理能力
【分析】写出原命题的逆命题后分别判断正误即可．
【解答】解：①若，则，正确为真命题；逆命题为若，则，错误，是假命题，不符合题意；
②对顶角相等为真命题；逆命题为相等的角为对顶角，错误，是假命题，不符合题意；
③平行四边形的对角线互相平分，正确，为真命题；逆命题为对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，为真命题，符合题意；
④相等的圆心角所对的弧相等，错误，为假命题；逆命题为相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，不符合题意；
故答案为：③．
【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．
三．解答题（共5小题）
21．（2024 重庆二模）如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点作的垂线，垂足为点，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空：
（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）．
（2）证明：，
平分，
　　．
在和中，
．
．
，
，
　　．
小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么 　　．
【答案】；；；这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．
【考点】命题与定理；角平分线的性质；作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质
【专题】推理能力；图形的全等
【分析】（1）分别以、点为圆心，长为半径在线段两侧画弧，各有两个交点，连接这两个交点交边与，则直线即为的垂线；
（2）根据，再找一条公共边，证明，得到，进而将面积之比转化长相应边的比．
【解答】（1）解：如图，直线为所作垂段；
（2）证明：，
．
平分，
．
在和中，
，
．
．
，
，
．
所以：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．
故答案为：；；；这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的作图，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
22．（2024 红山区二模）学行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，交于点，垂足为点．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点．
求证：．
证明：四边形是平行四边形，
，
①　　，②　　
垂直平分，
③　　，
又④　　，⑤　　
，
．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点⑥　　．
【答案】，两直线平行，内错角相等；；，对顶角相等；平分．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；命题与定理；作图—复杂作图
【专题】图形的全等；推理能力
【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
．
，（两直线平行，内错角相等）
垂直平分，
，
又（对顶角相等），
．
；
过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点平分，
故答案为：，两直线平行，内错角相等；；，对顶角相等；平分．
【点评】此题考查命题与定理，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
23．（2024 沙坪坝区模拟）如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点作的垂线，垂足为点，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）．
（2）证明：，
．
平分，
①　　．
在和中，
．
③　　．
，
，
．
小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：
如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么④　　．
【考点】命题与定理；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；作图—基本作图
【专题】推理能力；图形的全等
【分析】（1）分别以、点为圆心，长为半径在线段两侧画弧，各有两个交点，连接这两个交点交边与，则直线即为的垂线；
（2）根据，再找一条公共边，证明，得到，进而将面积之比转化长相应边的比
【解答】解：（1）如图，直线为所作垂段；
（2）解：证明：，
．
平分，
．
在和中，
．
．
，
，
．
所以：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的作图，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
24．（2024 沙坪坝区自主招生）学行四边形后，小高进行了拓展性探究．她发现，如果作平行四边形一组对边与同一条对角线所组成的角的平分线，那么这两条角平分线截另一对角线所得的线段被对角线的交点平分，其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的平分线，交于点．（只保留作图痕迹）
已知：如图，在中，，交于点，平分交于点，平分交于点．
求证：．
证明：四边形是平行四边形，
，①　　．
．
又平分，平分，
，②　　．
．
又③　　，，
．
．
小高再进一步研究发现，过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段④　　．
【答案】，，，被对角线的交点平分．
【考点】全等三角形的判定与性质；命题与定理；角平分线的性质；作图—复杂作图；平行四边形的判定与性质
【专题】推理能力；多边形与平行四边形
【分析】如图，先根据平行四边形的性质得到，，所以，再根据角平分线的定义得到，，则可判断．所以；类似可证明过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段被对角线的交点平分．
【解答】证明：如图，
四边形是平行四边形，
，，
，
又平分，平分，
，②，
，
又，，
，
，
故答案为：，，，被对角线的交点平分．
【点评】本题考查了命题：任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质．
25．（2024 吉州区模拟）如图1，是一款常见的海绵拖把，图2是其平面示意图，是拖把把手，是把手的一个固定点，海绵安装在两片活动骨架，上，骨架的端点只能在线段上移动，当海绵完全张开时，，分别与重合；当海绵闭合时，，与重合．已知直杆，．
（1）若，求的长（结果保留根号）
（2）若，求的长（结果保留小数点后一位）
（3）海绵从完全张开到闭合的过程中，直接写出的中点运动的路径长．（参考数据：，，取
【考点】：轨迹；：解直角三角形的应用
【专题】67：推理能力；：解直角三角形及其应用；554：等腰三角形与直角三角形
【分析】（1）当海绵完全张开时，，分别与重合；当海绵闭合时，，与重合，得出，证明是等腰直角三角形，由题意知，，得出也是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，得出，即可得出答案；
（2）由等腰三角形的性质得出，得出，，即可得出答案；
（3）由直角三角形斜边上的中线性质得出始终等于，得出运动的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，由弧长公式即可得出答案．
【解答】解：（1）当海绵完全张开时，，分别与重合；
当海绵闭合时，，与重合，
，
，
是等腰直角三角形，
由题意知，，
也是等腰直角三角形，
，
，
；
（2），，
，
，
，
；
（3），是的中点，
始终等于，
运动的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，
点运动的路径长．
【点评】本题考查了轨迹、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、弧长公式等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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