资源简介

(共19张PPT)
第一章
勾股定理
八年级数学北师版·上册
☆问题解决策略：反思
新知探究
如图，一个圆柱的高为12 cm，底面圆的周长为18 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少
蚂蚁怎么走最近
A
B
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
蚂蚁A→B的路线
B
A
A′
d
A
B
A′
A
B
B
A
O
新知探究
A
B
A′
B
A
A′
r
O
h
怎样计算AB？
在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，
侧面展开图
其中AA′是圆柱体的高,A′B是底面圆周长的一半.
新知探究
若已知圆柱体高为12cm，底面圆的周长为18cm，则:
新知探究
9
B
A'
B
A
12
侧面展开图
12
A'
A
18
所以AB=15.
新知探究
回顾反思
(1)在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中，你获得了哪些经验
解：先类比以前研究过的最短路线问题，比较这些问题之间的不同点，然后根据不同点将现在研究的问题转化为之前研究过的问题(即将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题)，然后借助两点之间线段最短及勾股定理，进而解决问题.
(2)这个问题中，影响结果的量有哪些 如果改变有关的量，你还能求解吗 例如，改变圆柱的形状，改变A，B两点的位置，改为沿着圆柱表面爬行……这时又会有哪些新的问题
解：影响结果的量有点B的位置、蚂蚁的爬行方式等.
点B的位置不同，蚂蚁的爬行路线方式也会不同，
新知探究
(3)解决这个问题的经验，还可以运用到哪些问题中 例如，能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短距离问题
解：还可以解决蚂蚁在圆柱侧面上、楼梯表面上、正方体表面上、长方体表面上等两点之间的爬行路线最短问题.
新知探究
新知探究
归纳：
几何体侧面或表面最短路径问题的基本模型
圆柱
新知探究
归纳：
几何体侧面或表面最短路径问题的基本模型
台阶
新知探究
归纳：
几何体侧面或表面最短路径问题的基本模型
棱柱
(以长方体为例)
新知探究
归纳：
几何体侧面或表面最短路径问题的基本模型
解题步骤：
将立体图形展开成平面图形→确定相关点位置→
构造直角三角形→根据勾股定理求解.
巩固练习
如图，有一个正方体形状的桌子，正方形ABCD是它朝上的桌面，点A,B,C,D是正方形的四个顶点，桌高是h cm.
(1)有一只蚂蚁要从正方形桌面ABCD的A点爬行到C点，请画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由 ；
两点之间线段最短
解：如图所示.
巩固练习
(2)有另一只蚂蚁要从桌子脚的P点（图中正方体的一个顶点）沿着正方体桌子的外表面爬行到C点，怎样爬行路线最短？请画出最短路线示意图.（画出一种即可）
解：如图，PC即为所求最短路线.（答案不唯一）
课堂小结
反思：
求立体图形的表面上两点间的最短路径问题时，一般要把立体图形展开成合适的平面图形，然后连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线，进而借助勾股定理等进行求解.
课堂小测
1. 如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 55cm、10cm、6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少
课堂小测
解：如图所示，将这个台阶展成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB的长.
在Rt△ABC中，BC=55 cm，
AC=（10+6）×3=48（cm）.
由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=482+552=5 329.
所以AB=73 cm.
因此，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是73 cm.
课堂小测
2. 如图所示，是一个长方体形状的牛奶盒，将一只蚂蚁放在点A处，并在点B处滴一滴蜂蜜，请求出蚂蚁找到蜂蜜的最短路线。
课堂小测
解：由题意可知有三种展开方法，如图.
由勾股定理得
AB12=102+（6+8）2=296,
AB22=82+（10+6）2=320,
AB32=62+（10+8）2=360,
所以AB1所以蚂蚁找到蜂蜜的最短路线为AB1.

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