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第一章
勾股定理
八年级数学北师版·上册
1 第1课时 探索勾股定理
新课引入
问题思考
如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？
新知探究
如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下，树梢落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
新知探究
问题：你能观察出直角三角形三边之间的关系吗？
1.画一个直角三角形，使直角边长分别为3 cm和4cm，测量一下斜边长是多少？
2.画一个直角边长分别是6 cm和8 cm的直角三角形，测量一下斜边长是多少？
3.画一个直角边长分别是5 cm和12cm的直角三角形，测量一下斜边长是多少？
5cm
10cm
13cm
新知探究
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
（1）观察图1
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积.
正方形B的面积是 个单位面积.
正方形C的面积是 个单位面积.
9
9
9
18
你是怎样得到上面的结果的？与同伴进行交流.
C
A
B
A
B
C

























正方形周边上的格点数a=12
正方形内部的格点数b=13
所以，正方形C的面积为：
（单位面积）
图1
图2
新知探究
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
分割成若干个直角边为整数的三角形
（单位面积）
新知探究
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
（单位面积）
把C看成边长为6的正方形面积的一半.
新知探究
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
（2）在图2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
（3）你能发现图1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.
4，4，8
新知探究
A
B
C
图3
A
B
C
图4
（1）观察图3、图4，并填写下表.
你是怎样得到表中的结果的？与同伴进行交流.
新知探究
A的面积（单位面积）
B的面积（单位面积）
C的面积（单位面积）
图3
图4
16
9
25
4
9
13
新知探究
A
B
C
图3
A
B
C
图4
分割成若干个直角边为整数的三角形.
（面积单位）
新知探究
A
B
C
图3
A
B
C
图4
（2）三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.
新知探究
A
B
C
图3
A
B
C
图4
（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流.
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
新知探究
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
即 直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.
a
b
c
勾
股
弦
在西方又称毕达哥拉斯定理！
新知探究
如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？
解：设钢索的长度为am，
由勾股定理，得a2=82+62
∴a=10.
需要10m长的钢索.
新知探究
新知探究
如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下，树梢落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
解：设大树折断部分长度为am，
由勾股定理，得a2=102+242
∴a=26
10+26=36m.
答：大树在折断之前高36m.
1.直角三角形ABC的两直角边BC=12，AC=16，则△ABC的斜边AB的长是 (　　)
A.20　　　B.10　　　C.9.6　　　D.8
解析：BC2=122=144，AC2=162=256，AB2=AC2+BC2=400=202.
A
巩固练习
解析:利用勾股定理求出斜边的长为10.
2.直角三角形两直角边长分别是6和8，则周长与最短边长的比是 (　　)
A.7∶1 B.4∶1 C.25∶7 D.31∶7
B
巩固练习
课堂小结
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么
直角三角形两条直角边长度的平方和等于
斜边长度的平方.
a
c
勾
弦
b
股
课堂小测
解析:根据等腰三角形三线合一，判断出△ADC为直角三角形，利用勾股定理即可求出AC的长为13.
1.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，若BC=10，AD=12，则AC=　　　　.
13
2. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于　　　　.
解析:根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆的面积.所以S1+S2= πAB2=12.5π.
12.5π
课堂小测

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