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第二章 二次函数
北师大版数学九年级下册
第一节 二次函数
概 念
2
教学目标
重点难点
探索并归纳二次函数的定义.
01
能够用二次函数表示简单的变量之间的关系.
02
03
从实际情景中让学生经历探索分析和
建立两个变量之间的二次函数关系的
过程，获得用二次函数表示变量之间
关系的体验，并通过合作交流体验学
习的乐趣.
3
教学目标
重点难点
对二次函数概念的理解。
教学难点
教学重点
经历探索和表示二次函数关系的过程,体会二次函数意义.将简单的实际问题转化为次数的模型.
对二次函数概念的理解，根据实际问题建立二次函数模型；研究二次函数的基本思路
y=x(20-2
5
任务一：生成二次函数概念
小明想要为家里的小兔子围建一个篱笆．
(1）若围成一个正方形，正方形的边长为 xm ，则围成的正方形篱笆的周长 C ( m )与边长 x ( m ）的关系式为 ；面积 S (m2）与边长 x ( m ）的关系式为
(2）在（1）的基础上，若将正方形的一组对边加长2m，则围成的正方形篱笆的周长 C ( m ）与边长 x ( m ）的关系为 ；面积 S (m2）与边长 x ( m ）的关系式为
(3）在（1）的基础上，若将正方形的一组对边加长2m，另外一组对边加长1m，则围成的正方形篱笆的周长 C ( m ）与
边长 x ( m ）的关系式为 ；面积 S (m2）与边
长x ( m ）的关系式为
回顾与思考
引入新知
课堂小结
拓展提升
应用新知
布置作业
5
x
y=x(20-2
6
回顾与思考
引入新知
课堂小结
拓展提升
应用新知
布置作业
周长C（m ) 面积S（ ）
C=4x S=
C=4x+4 S=
C=4x+6 S=
问题1：
左边三个等式和右边的三个等式有什么相同处？右边三个等式中，s是否是x的函数？你能从“次"的角度，说说这三个函数具有什么共同特征？
正比例函数y=kx(k≠0)
任务一：生成二次函数概念
1.两个变量
2.自变量最高次数是2
3.整式
y=x(20-2
6
回顾与思考
引入新知
课堂小结
拓展提升
应用新知
布置作业
任务一：生成二次函数概念
一次函数的表达式写成 .你能根据二次函数的特征，写出它的表达式吗？
问题2：你能说说 和 的关系吗？
一元二次方程
一般形式
二次函数
一般形式
定义：一般地，若两个变量 x ， y 之间的对应关系可以表示成
y = ax + bx + c ( a , b , c 是常数, a ≠ 0 )的形式，则称 y 是 x 的 二次函数.
y=x(20-2
6
回顾与思考
引入新知
课堂小结
拓展提升
应用新知
布置作业
任务二：类比迁移
反比例函数
一次函数
a , b , c 是常数, a ≠ 0
二次函数
+
+
一般形式y=
k为常数
一般形式
k、b为常数
概念
形式
条件
+
形式
条件
+
一般形式
y = ax +bx+ c
研究路径
定义
图象与性质
待定系数法求表达式
应用
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下列函数中，哪些是二次函数 ．
y = ax + bx + c (2) y ＝－5x2；
(3) y ＝3x－6； (4) y＝
(5)y=x2 ＋ x3－5； (6) y = (x+3)2＋x2；
(7)y＝3(x－2)(x－5)； (8) y ＝-2x2＋ x -3
课堂小结
拓展提升
布置作业
应用新知
回顾与思考
引入新知
任务三：应用新知，辨析概念
解：
(1)y = ax + bx + c
×
(2)y＝－5x2；
自变量的最高次数是2
自变量的最高次系数是
自变量的最高次数是3
(6)y＝(x+3)2- x2
×
(7)y＝3(x－2)(x－5)；
整理得到y＝3x2－21x＋30，是二次函数
(8)y＝-2x2＋x-3
×
不是整式
(5)y＝ x2 ＋ x3 - 5；
a(a ≠0)
(3) y ＝3x－6
自变量的最高次数是1
×
整理，得：y＝6x+9；自变量的最高次数是1
√
自变量的最高次数是2,而且是整式
√
(4)y＝
×
√
相信自己：自主完成学导案
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课堂小结
拓展提升
布置作业
引入新知
回顾旧知
一般式：y = ax + bx + c ( a , b , c 是常数, a ≠ 0 )
应用新知
y=a x +b x+ c
二次项a系数
一次项系数
a≠0
二次项
一次项
常数项
任务四：全面剖析，强化概念
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课堂小结
拓展提升
布置作业
应用新知
回顾旧知
引入新知
应用新知，辨析概念
y=ax +bx+c 判别 a b c
y＝1－3x＋5x2
y=(x+3) -x
(3) s=3-2t
x
x
y
-
=
2
1
下列各式是，y是x的二次函数吗？如果是，指出各项系数多少；如果不是说明理由
一般式：y = ax + bx + c ( a , b , c 是常数, a ≠ 0 )
为什么规定a≠0，b，c可以为0吗？
3
17
课堂小结
拓展提升
布置作业
回顾旧知
引入新知
拓展提升
应用新知
2. 若 是二次函数，则m的值为
3.请同学们在生活的数下中寻找二次函数实例。
上一章一元二次方程所学和生活实践体会提出：圆的面积与半径之间的关系、自由落体物体下落的高度与时间的关系、握手问题、增长问题等都有二次函数的实例。
1. 已知 函数 是二次函那么a的取值范围是
若y= (m+1)x +(m-3)x+m是二次函数，则m的值为
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课堂小结
拓展提升
布置作业
回顾旧知
引入新知
拓展提升
应用新知
问题4：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均
结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
y=(100+x)(600-5x)
=-5x +100x+60000
由实际问题列表达式
定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数
叫做y是x的二次函数.
2. y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax ------ (a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax +c -----(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax +bx ---- (a≠0,b≠0,c=0)
①解析式是关于自变量的整式；
② 自变量的最高次数是2；
③化简后二次项系数不为0.
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应用新知
拓展提升
布置作业
课堂小结
回顾旧知
引入新知
注意
判断一
个函数是不是二次函数，要抓住二次函数的结构特征：
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应用新知
拓展提升
课堂活动
课堂小结
回顾旧知
引入新知
布置作业
.基础性作业
随堂练习第一、二题
.拓展性作业
已知x是实数，且满足(x－2)(x－3) ＝0，则相应的函数y＝x2＋x＋1的值为(　　)
A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3
当a＝________时，函数y＝(a－2)x －2＋ax－1是
二次函数．
1
3
2
五
板书设计
2.1二 次 函 数
定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做y是x的二次函数.
1.y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax --------- (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax +c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax +bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
二次函数
二次函数的概念
二次函数的应用
二次函数的图像与性质
性质
图象
二次函数与几何图形的综合
二次函数与实际问题
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数的解析式

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