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第二章 二次函数
2.1二次函数
情景导入
节日的喷泉给人们带来喜庆,夏日的喷泉给人们带来凉爽.
你是否注意过喷泉水流所经过的路线
它会与某种函数有联系吗
复习旧知
一次函数
反比例函数
y=kx+b (k≠0)
(正比例函数) y=kx (k≠0)
思考 一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的函数吗？是我们学过的函数吗？
y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数.
思考：这种函数叫什么？这节课我们一起来学习吧.
新知讲解
问题：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
增种的棵树和平均每棵树结的橙子个数是变量.
增种的棵树是自变量,平均每棵树结的橙子个数是因变量.
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树 这时平均每棵树结多少个橙子
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600－5x)个橙子.
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
y=(100+x)(600-5x)
=-5x +100x+60000.
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
归纳总结
一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数.
a为二次项系数，ax2叫做二次项；
b为一次项系数，bx叫做一次项；
c为常数项.
新知讲解
注意事项：
（1）关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,a≠0.
（2）等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
（3）判断一个函数是不是二次函数，先把它化成一般形式.
做一做
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式（不考虑利息税）.
y=100(1+x)(1+x)=100x2+200x+100
典例精析
例
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：
（1）由题可知
解得
（2）由题可知
解得 m=3
方法点拨
解此类题，先根据次数计算字母的值，然后再根据二次项系数a≠0这一限制条件得出正确的答案.
想一想
S=a2(正方形面积与边长的关系)
S=πr2(圆面积与半径的关系)
你可以举例说明还有哪些可以表示为二次函数关系？
总结归纳
二次函数的一般式：
特殊式：
练一练
下列函数中,哪些是二次函数
先化简后判断
是
不是
是
不是
课堂练习
1.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数
C
2．下列函数是二次函数的是 ( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2/x
C．y＝3x2＋1 D．
C
3.把y=(2-3x)(6+x)变成y=ax +bx+c的形式，二次项为
_____,一次项系数为______，常数项为 .
-3x2
-16
12
4. 已知函数 y=3x2m-1－5
① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数；
② 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 .
1
(1)y=π(x+1)2－π=πx2+2πx
(2)当x=1cm时, y=3π(cm2)
当x=2cm时, y=8π(cm2)
课堂小结
二次函数
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数)
一般形式
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.
特殊形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数).
作业布置
1.课本习题2.1第1、2题
2.矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2.求
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.

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