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第二章 二次函数
1.二次函数
函 数
变量之间的关系
一次函数y=kx+b (k≠0)
反比例函数
二次函数
正比例函数y=kx(k≠0)
知识回顾
类比
学习结构：
图象画法：
求表达式的方法：
待定系数法法
概念---图象及性质---应用
描点法
......
某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.
新知讲解
（1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
自变量：橙子树的数量，橙子树之间的距离，
橙子树接受阳光的多少等等；
因变量：每棵橙子树的结果量，果园橙子的
总产量，每个橙子的质量等等.
y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60 000.
某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.
（2）假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有__________棵橙子树，这时
平均每棵树结__________个橙子；
（3）如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x 之间的关系式.
在种树问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
想一想
x … 6 7 8 9 10 11 12 13 14 …
y … …
60 420
60 455
60 480
60 495
60 500
60 495
60 480
60 455
60 420
做一做
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元，那么请你写出两年后的本息和 y（元）的表达式（不考虑利息税）.
y=100x +200x+100.
想一想
（1）两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出
这两数之积 y 的表达式吗？
（2）已知矩形的周长为40 cm，它的面积可能是
100 cm2吗？可能是75 cm2吗？还可能是多
少？你能表示这个矩形的面积与其一边长
的关系吗？
y=x(20-x)
当矩形为正方形且边长为10 cm时，面积是100 cm2；
当矩形长和宽分别为15 cm和 5 cm时，面积是75 cm2.
还有很多其他可能的情况. 设矩形的一边长为 x cm，面积为y cm2，则另一边长为(20-x)cm.根据题意得 y=x(20-x).
情境1：y=-5x +100x+60 000.
情境2：y=100x +200x+100.
情境3：y=x(20-x).
问题：y是 x 的函数吗？y 是 x的一次函数？是反比例函数？
猜想它们是什么函数？
二次函数
新知讲解
一般地，若两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y=ax +bx+c（a，b，c 是常数，a≠ 0）的形式，则称 y 是 x 的二次函数.
二次函数的定义
一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax +bx+c(a,b,c是常数,且a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数.
二次项
一次项
常数项
a：二次项系数
b：一次项系数
c：常数项
一般式：
一般地，若两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y=ax +bx+c（a，b，c 是常数，a≠ 0）的形式，则称 y 是 x 的二次函数.
（1） y=ax (a≠0，b=0，c=0)；
（2） y=ax +c (a≠0，b=0，c≠0)；
（3） y=ax +bx (a≠0，b≠0，c=0).
二次函数的定义
例1 下列一定是二次函数的是____________.
②③④
例题讲解
下列函数中,哪些是二次函数？ 是二次函数的请指出a,b,c的值？
函数 是否是二次函数 a b c
√ 10π 0 0
√ -2 0 3
×
×
√ 3 -6 4
×
一次函数
反比例函数
二次函数
例2 如图1，底面为正方形的长方体，已知底面边长是a，长方体的高为5，体
积为V.
（1）求 V 与 a 之间的函数表达式：____________ ， V是 a 的______函数；
其中二次项系数为________；
一次项系数为_______；
常数项为________;
（2）当 a=2 时，V= _________.
二次
5
0
0
20
a
5
图1
例3 某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据
市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场每件
提价x元.
请你写出每天销售利润 y 与提价 x 的函数表达式：_____________________，
化为一般式为：____________________________，y是 x 的__________函数.
二次
随堂练习
1.下列函数中，不是二次函数的是（ ）
C
B
考查二次函数定义
2.函数 是二次函数的条件是（ ）
A. m，n为常数，且m≠0
B. m，n为常数，且m≠n
C. m，n为常数，且n≠0
D. m，n可以为任何常数
3.函数 是二次函数，则 k 的值是______ .
0或3
变式训练：如果函数 是二次函数，则 k 的值是______.
0
小结：①最高次数项次数为 2； ②保证二次项系数不为 0.
①当k为何值时，函数 为二次函数？
②当k为何值时，函数 为二次函数？
③当k为何值时，函数 为二次函数？
⑤当k为何值时，函数 为二次函数？
④当k为何值时，函数 为二次函数？
4.半径为3的圆，如果半径增加2x ，面积S与x之间的函数表达式为___________.
5.某公司 1 月份营业额 为100 万元，3月份营业额为 y 万元，如果每月的增长
率为 x，则 y 与 x 的关系式为_______________ .
利用等量关系列函数式
6. 如图2，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面
墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏.
（1）∠B=____ ;
（2）用含有 x 的代数式分别表示BC= _____ ， AD=________;
（3）求梯形的面积 y 与高 x 的表达式.
图2
x
135°
E
7. 如图3，已知一张三角形纸片ABC，面积为25，BC边的长为10，点M为AB边上的一个动点，且点 M 不与点A ，点B重合，过点 M 作MN∥BC交AC于点N，设MN=x ，请用 x 表示三角形AMN的面积S.
A
M
N
B
C
x
10
图3
课堂小结
注意：①最高次数项次数为 2；
　　　②保证二次项系数不为 0.
2.利用等量关系列二次函数关系式.
步骤：①利用等量关系列等式；
　　 ②将等式转化为相应的函数关系式.
1.一般地，若两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y=ax +bx+c（a，b，c
是常数，a≠ 0）的形式，则称 y 是 x 的二次函数.
作业布置
习题2.1

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