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第四章图形的相似单元测试卷北师大版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．下列各组线段中，能成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
2．如果，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且，则a的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
4．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．矩形都是相似图形； B．菱形都是相似图形
C．各边对应成比例的多边形是相似多边形； D．等边三角形都是相似三角形
6．如图，点D是边上一点，添加下列条件后，仍不能使的是（ ）
A． B．
C． D．
7．两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知点C的横坐标为1，点F的横坐标为3，点B的坐标为，则点E的坐标是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，D是边上一点，，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
10．如图，在菱形中，，点、分别是边、上的点，连接，将菱形沿翻折，使点的对称点落在对角线上，给出下面四个结论：
①；
②若，则；
③若菱形边长为，是的中点，连接，则；
④若，，则．
上述结论中，正确结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当 时，与相似．
12．如图，在中，点D为边的中点，点G为的重心，则的值为 ．
13．如图，，如果，，，那么 ．
14．如图，平行四边形中，，如果，则 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求．
16．如图，在矩形中，为边上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，且．
(1)求证：．
(2)若为的中点，求的长．
17．在中，，E是边上一点，将沿着翻折到．如图，若E、F、D三点共线．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
18．在四边形中，点为的中点，分别连接．
(1)如图1，若，．
①求证：；
②求证：平分；
(2)如图2，若，，，，求的长．
19．在中，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，，．
(1)猜想观察：如图1，当时，的值是______，直线与直线相交所成的较小角的度数是______．
(2)类比探究：如图2，当时，
①求的值；②求直线与直线相交所成的较小角的度数．
(3)解决问题：如图3，当时，若点E、F分别是、的中点，点P在的延长线上，P、D、C三点在同一直线上，与相交于点M．
①求证：；
②若，求的长．
20．如图1，在中，，，，点D，E分别是，中点，连接．在同一平面内，将绕点A逆时针旋转（D，E始终在直线同侧），射线，相交于点P．
(1)证明：在旋转过程中，；
(2)如图2，考虑旋转角度数大于时，的度数是否不变？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由；
(3)如图3，当时，连接，设交于点Q．
①证明：；
②求线段的长度．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C D D A B A D C
二、填空题
11．【解】解：，点P是边的中点，
，
当时，
则，
，
解得：；
当时，
则，
，
解得：；
综上所述：当或4时，与相似．
故答案为：1或4．
12．【解】解：如图，连接，并延长交于点E，连接，
∵点G为的重心，
∴点E为的中点，
∵为边上的中线，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2
13．【解】解：∵，
∴，
∴，即，解得：．
故答案为：
14．【解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
15．【解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：过E点作交于M点，如图，
∵为中线，
∴，
∵，
∴1，
即，
∵，
∴，
而，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
即①，
∵，
∴，
即②，
得1，
解得．
16．【解】（1）证明：四边形是矩形，
，
把沿翻折，点落在边上的点处，
，
，，
，
．
（2）解：为的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
∴在中，，
即
17．【解】（1）证明： 四边形是平行四边形，
，
，
将沿着翻折到，
，
，
；
（2）解： 将沿着翻折到，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，，
，，
由（1）知，
，
，
，
．
18．【解】（1）证明：①，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
即；
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，过点作，连接，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴．
19．【解】（1）解：（1）如图1中，延长交的延长线于E，设交于点O．
由题意，当时，、是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
，线与直线相交所成的较小角的度数是，
故答案为1，．
（2）解：如图2中，设交于点O，交于点E．
由题意，当时，、是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，，
，
，
直线与直线相交所成的较小角的度数为．
（3）①证明：∵点 E，F 分别是、 的中点，
∴，，
∴．
∵P，D，C三点在同一直线上，，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴．
②解：设，则，
在中，由勾股定理得，，
∴．由（2）知，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．解得，(不合题意，舍去)，
∴．
20．【解】（1）证明：如图1中，∵点D，E分别是，中点，
∴，
∴，
如图2中，由旋转变换的性质可知，
∴；
（2）解：结论：，度数不变．理由如下：
如图2中，设，交于点O，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）①证明：设，交于点O．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
②解：如图3中，过点E作交的延长线于点H，
在中，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
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∴．试卷第1页，共3页
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