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第4章
三角形
八年级数学湘教版·上册
4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）
授课人：XXXX
学习目标
1.三角形全等的识别：SAS；(重点)
2.对全等三角形的识别的理解和运用．(难点)
新课导入
A
B
C
D
E
F
1. 什么叫作全等三角形？
能够重合的两个三角形叫作全等三角形.
3.已知△ABC ≌△DEF，找出其中相等的边与角.
①AB=DE
③ CA=FD
② BC=EF
④ ∠A= ∠D
⑤ ∠B=∠E
⑥ ∠C= ∠F
2. 全等三角形有什么性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
知识回顾
新课导入
如果两个三角形有三组元素（边或角）对应相等,那么会有哪几种可能的情况？
有以下的四种情况：
(1)两边一角 (2)两角一边
(3)三角 (4)三边
新知探究
探究活动1：一个条件可以吗？
（1）有一条边相等的两个三角形
不一定全等
（2）有一个角相等的两个三角形
不一定全等
结论：
有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
新知探究
6cm
30°
有两个条件对应相等不能保证三角形全等.
60°
30°
不一定全等
探究活动2：两个条件可以吗？
3cm
4cm
不一定全等
30°
60°
3cm
4cm
不一定全等
30°
6cm
结论：
（1）有两个角对应相等的两个三角形
（2）有两条边对应相等的两个三角形
（3）有一个角和一条边对应相等的两个三角形
已知两个三角形有两边一角对应相等时，又分为几种情况讨论？
边－角－边
边－边－角
Ａ
Ａ
Ａ'
Ａ'
Ｂ
Ｂ'
Ｂ
Ｂ'
Ｃ
Ｃ
Ｃ'
Ｃ'
第一种
第二种
新知探究
新知探究
在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为50°，夹这个角的两边分别为2cm，2.5cm. 将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？
50°
2cm
2.5cm
50°
2cm
2.5cm
已知两边及其夹角可以吗？
新知探究
下面，我们从以下这几种情形来探讨这个猜测是否为真.
设在△ABC 和△A′B′C′中，∠ABC =∠A′B′C′，
我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
A
B
C
新知探究
（1）△ABC 和△A′B′C′的位置关系如图.
将△ABC作平移，使BC的像B′′C′′ 与B′C′重合，△ABC在平移下的像为△A′′B′′C′′ .
由于平移不改变图形的形状和大小，因此△ABC≌△A′′B′′C′′.
A
B
C
新知探究
所以△A′′B′′C′′与△A′B′C′重合，
因为=∠ABC=∠A′′B′′C′′=∠A′B′C′ ，AB=A′B′=A′′B′′.
所以线段A″B″与A′B′重合，
因此点A′′与点A′重合，
那么A′′C′′与A′C′重合，
因此△A′′B′′C′′ ≌△A′B′C′，
从而△ABC ≌△A′B′C′.
A
B
C
新知探究
（2）△ABC和△A′B′C′的位置关系如图（顶点B 与顶点B′重合）.
因为BC=B′C′，
将△ABC作绕点B旋转，旋转角等∠C′BC，
所以线段BC的像与线段B′C′重合.
因为∠ABC=∠A′B′C′，
所以∠C′BC=∠A′BA.
(A)
B
(C)
由于旋转不改变图形的形状和大小，
又因为BA=B′A′，
所以在上述旋转下，BA的像与B′A′重合，
从而AC的像就与A′C′ 重合，
于是△ABC的像就是△A′B′C′ .
因此△ABC ≌△A′B′C′.
(A)
B
(C)
新知探究
新知探究
（3）△ABC和△A′B′C′的位置关系如图.
根据情形(1)(2)的结论得△A′′B′′C′′ ≌△A′B′C′,
将△ABC作平移，使顶点B的像B′′和顶点B′重合，
因此△ABC ≌△A′B′C′.
（4）△ABC 和△A′B′C′的位置关系如图.
将△ABC作关于直线BC的轴反射，
△ABC在轴反射下的像为△A′′BC.
由于轴反射不改变图形的形状和大小，
因此△ABC≌△A′′BC.
根据情形（3）的结论得△A′′BC≌△A′B′C′,
因此△ABC ≌△A′B′C′.
新知探究
新知探究
文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）．
在△ABC 和△ DEF中，
∴　△ABC ≌△ DEF（SAS）．
几何语言：
AB = DE，
∠A =∠D，
AC =DF ，
A
B
C
D
E
F
新知探究
例1 如图，AB和CD相交于点O，且AO=BO，CO=DO.
求证：△ ACO ≌△ BDO .
证明：
在△ACO和△BDO中，
∴ △ACO≌△BDO（SAS）.
AO = BO，
∠AOC =∠BOD (对顶角相等)，
CO = DO，
注意：证明三角形全等时，如果题目所给条件不充足，我们要充分挖掘图形中所隐藏的条件.如对顶角相等、公共角（边）相等等.
新知探究
例2 如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，
那么 △ ABD 和△ CBD 全等吗？请说明理由.
A
B
C
D
解：全等.理由如下：
在△ABD 和△ CBD中，
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
∴ △ ABD ≌△ CBD ( SAS).
BD=BD(公共边)，
新知探究
例3 已知：如图,AB=CB,∠1= ∠2.
求证:(1) AD=CD；
(2) DB 平分∠ ADC.
A
D
B
C
1
2
4
3
（1）在△ABD与△CBD中
证明:
∴△ABD≌△CBD（SAS）
AB=CB (已知）
∠1=∠2 （已知）
BD=BD （公共边）
∴AD=CD.
∴DB 平分∠ ADC.
（2）由（1）可知∠3=∠4
新知探究
如图，AD∥BC，AD=BC. 问：△ADC和△CBA
是全等三角形吗？为什么？
解 :是全等三角形.理由如下：
∵ AD∥BC
∴ △ADC≌△CBA（SAS)
∴∠DAC=∠BCA，
又 AD=BC，AC公共边
已知：如图，AB=AC，点E，F分别是AC，AB的中点.
求证：BE=CF.
证明: ∵ AB=AC, 且点 E，F分别是
AC，AB中点，
∴ △ABE≌△ACF(SAS)，
∴AF=AE.
又 ∠A是公共角，
∴ BE=CF.
新知探究
课堂小结
全等三角形的判定“边角边”（SAS）
应用：为证明线段和角相等提供了新的证法.
内容：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”).
注意：1.已知两边，必须找“夹角.”
2. 已知一角和这角的一夹边，必须找
这角的另一夹边 .
课堂小测
1.在下列图中找出全等三角形进行连线.

30
8cm
9cm

30
8cm
8cm
Ⅳ
8cm
5cm
30

8cm
5cm
30
8cm

5cm
8cm
5cm

30
8cm
9cm
Ⅲ

30
8cm
8cm
课堂小测
2.小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流.
E
F
D
H
解：能.在△EDH和△FDH中 ，　　
ED=FD（已知），
　 ∠EDH=∠FDH（已知），
　 DH＝DH（公共边），
∴△EDH≌△FDH（SAS），
∴EH=FH(全等三角形的对应边相等）.
课堂小测
3.如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA. 求证：BC=AD.
A
B
C
D
证明:在△ABC与△BAD中，
AC=BD(已知)，
∠CAB=∠DBA(已知)，
AB=BA(公共边)，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴BC=AD
（全等三角形的对应边相等）.
课堂小测
4.如图，点E，F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.
求证：△AFD≌△CEB.
F
A
B
D
C
E
证明：
∵AD//BC，
∴ ∠A=∠C，
∵AE=CF，
在△AFD和△CEB中，
AD=CB
∠A=∠C
AF=CE
∴△AFD≌△CEB（SAS）.
∴AE+EF=CF+EF，
即 AF=CE.
(已知），
(已证），
(已证），

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