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21.2 《二次函数的图象和性质》小节复习题
【题型1 二次函数的图象】
1.已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．
(1)则的值为______；对称轴为______；
(2)已知，点在该二次函数图象上，则点在该图象上对称点的坐标为______；
(3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______．
3.如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是
4.如图，若抛物线与直线围成的封闭图形内部有k个整点（不包括边界），则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【题型2 二次函数的性质】
1.二次函数，若在其图象的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则下列各点不在其图象上的是（ ）
A． B． C． D．
2.当时，函数的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
3.已知的图象上有三点，，，且则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.已知，为抛物线上任意两点，其中，若对于，都有，则a的取值范围是 ．
【题型3 二次函数的图象】
1.如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 ．
3.如图，已知抛物线y1＝﹣x2+1，直线y2＝﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝2时，y1＝﹣3，y2＝﹣1，y1＜y2，此时M＝﹣3．下列判断中：①当x＜0时，M＝y1；②当x＞0时，M随x的增大而增大；③使得M大于1的x值不存在；④使得M＝的值是﹣或，其中正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 二次函数的性质】
1.定义：对于函数图象上的两点，将的值称为该函数图象在段的“攀登值”，记作．已知二次函数的图象上有两点，若对于任意的均满足当时，该函数图象在段的“攀登值”始终有，则a的取值范围是 ．
2.已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值
C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值
4.对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ．
【题型5 二次函数的图象】
1.设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2.如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ．
3.二次函数，当0≤x≤3时，y的取值范围为（　　）
A．3≤y≤9 B．1≤y≤9 C．1≤y≤3 D．0≤y≤1
4.如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（　　）

A． B． C． D．
【题型6 二次函数的性质】
1.点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C．12 D．
2.已知抛物线y＝（x﹣1）2经过点A（n，y1），B（n＋2，y2），若y1＜y2，则n的值可以为（ ）
A．﹣1 B．﹣0.5 C．0 D．0.5
3.已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为 ．
4.已知直线交抛物线于点，交抛物线于点，下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则；其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型7 二次函数的图象】
1.如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ）
A． B． C． D．1
2.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．若抛物线（h、k为常数）与线段交于C、D两点，且，则k的值为 ．

3.已知二次函数（为常数）．当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当，，，时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是 ．
4.已知抛物线与轴交于点，其顶点为点，与轴交于两点（在的左侧），连接，若在抛物线上存在一点，使得，则的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【题型8 二次函数的性质】
1.已知二次函数（为常数），当自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，则的值为（ ）
A．0或4 B．2或6 C．0或6 D．2或4
2.已知，点、、都在函数的图象上，那么（ ）
A． B．
C． D．
3.已知二次函数，当时，函数值y的最大值为4，则a的值为 ．
4.对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
参考答案
【题型1 二次函数的图象】
1.C
【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可．
【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口，
∴
∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口，
∴
又
∴
∴，
故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意；
故选：C．
2.（1）解：∵是二次函数，
∴，
解得：，，
∵当时，随的增大而增大，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，即轴，
故答案为：，轴；
（2）解：∵点在该二次函数图象上，对称轴为直线，即轴，
∴点在该图象上对称点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：列表：
如图，
根据图象可知：当时，
∴的取值范围，
故答案为：．
3.
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线与线段的交点需要在之间，将，分别带入函数求出a的值，抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大，即可得出结果．
【详解】解：由题意可知二次函数经过原点，想要抛物线与线段有交点，如下图：
抛物线与线段的交点需要在之间，
当抛物线经过A点时，，解得：，
当跑五项经过B点时，，解得：，
抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大，
．
故答案为：
4.C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，因式分解法解一元二次方程，求函数值等知识点，运用数形结合思想是解题的关键．
先求出抛物线与直线的交点坐标，进而确定封闭图形（不包括边界）的的取值范围为，于是可得的整数解为，，，根据函数图象分别求出当，，时的整点数，将其相加即可得出的值．
【详解】解：令，
解得：，，
抛物线与直线围成的封闭图形（不包括边界）的的取值范围为：，
的整数解为：，，，
当时，，，
满足条件的整点为一个点；
当时，，，
满足条件的整点为，两个点；
当时，，，
满足条件的整点为，两个点；
满足条件的整点共个，故，
即：的值为，
故选：．
【题型2 二次函数的性质】
1.D
【分析】根据二次函数的定义求出，再结合函数图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大，可知，即可求出函数，再将各点代入函数逐项判断即可．
【详解】解：根据题意，是二次函数，
，
解得：，
函数图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大，
抛物线开口方向向下，
，
，即，
当时，，故不在其图象上，在其图像上，
当时，，当时，，故，在其图象上，
故选：D．
2.C
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向下，对称轴为直线，即轴，函数有最大值，距离对称轴越远，函数值越小，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴是解题的关键．
【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，即轴，，
∴当时，二次函数有最大值，
由，根据距离对称轴越远，函数值越小，
∴当时，有最小值，
∴当时，函数的取值范围为，
∴最大值与最小值的和为，
故选：．
3.A
【分析】此题考查二次函数的性质，熟练准确求出函数值是解题的关键．
根据函数的图象上有三点，，得到，由得，即可得到答案．
【详解】解：∵函数的图象上有三点，，，
，
，
，
，
故选：A．
4.
【分析】本题考查了二次函数的性质， 由点M、N是抛物线上的点得到、，然后代入，中，结合和求出a的取值范围．根据题意列出关于a的不等式是解题的关键．
【详解】解：因为为抛物线上任意两点，
所以、，
代入，得，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，且，
∵若对于，都有，
∴，
∴或（舍去），
故答案为：．
【题型3 二次函数的图象】
1.B
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数、的图象都经过，
∴，，
解得，，
∴、，
∴，
抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为；
故选：B．
2.2
【分析】设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，因点P在x轴上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案．
【详解】解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，
当点P在x轴上方时，∴x2-1>0,
∴PH=|x2-1|=x2-1，
在Rt△OHP中，由勾股定理，得
OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2，
∴OP=x2+1，
∴OP -PH=（x2+1）-（x2-1）=2，
故答案为：2．
3.C
【分析】先联立两函数解析式求出交点坐标，再根据M的定义结合图形，利用二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：由题意得 ，
解得 ，
所以，抛物线与直线的两交点坐标为（0，1），（1，0），
∵当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．
∴①当x＜0时，由图象可得y1＜y2，故M＝y1；故此选项正确；
②当1＞x＞0时，y1＞y2，M＝y2，直线y2＝﹣x+1中y随x的增大而减小，故M随x的增大而减小，此选项错误；
③由图象可得出：M最大值为1，故使得M大于1的x值不存在，故此选项正确；
④当﹣1＜x＜0，M＝时，即y1＝﹣x2+1＝，
解得：x1＝﹣，x2＝（不合题意舍去），
当0＜x＜1，M＝时，即y2＝﹣x+1＝，
解得：x＝，
故使得M＝的值是﹣或，此选项正确．
故正确的有3个．
故选：C．
4.D
【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解．
【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大，
∴，
∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意；
联立得：，
则，
故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意；
故选：D．
【题型4 二次函数的性质】
1./
【分析】本题考查的是新定义的含义，二次函数的性质，根据新定义可得，可得，再结合进一步解答即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，而，
∴；
故答案为：
2.B
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，据此解答．
【详解】 化为顶点式解析式为：
二次函数的对称轴为直线，开口方向向上，
在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，
时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而减小，
实数a的取值范围是，
故选：B．
3.C
【分析】根据二次函数的性质，表示出、的值，即可求解．
【详解】解：二次函数．
开口向上，对称轴为，
当时，随增大而增大．
．
．即是的一次函数．
，
一次函数上升趋势．
．
有最小值，没有最大值．
故选：C．
4.或
【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解．
【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵，
∴，那么最大值与最小值的差为： ．
二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ．
情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵ ，
∴此时，最大值与最小值的差为： ．
令 ，
∴ ，
∵ ，
∴解得 ．
情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ，
∵ ，解得 ．
情况三：当，即 时,
当时，．
当时，函数值 ；
当时，函数值 ．
当时，即，
∴，
∴
此时
∴，
解得（舍去）或（舍去），
当时，即，
∴，
∴
此时
∴（舍去）或（舍去）
综上所述， 或
故答案为：或
【题型5 二次函数的图象】
1.C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解．
【详解】解：如图所示，若，则，
故A选项错误；
如图所示，若，则或，
故B、D选项错误；
如图所示，若，则，
故C选项正确；
故选：C．
2.
【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解．
【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，
∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．
∴抛物线的对称轴为直线，即，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，即，
故答案为：．
3.B
【分析】根据函数得到函数有最小值1，画出函数的图像，运用数形结合思想解答即可．
【详解】解：二次函数的图像如图：
所以函数有最小值1，当x=0时，y=3，当x=3时，y=9，
当0≤x≤3时，x=1在范围内，故函数值能取到最小值，故1≤y≤9．
故选：B．
4.B
【分析】根据函数顶点坐标M为（h，0），设点M到直线l的距离为a，则有y＝（x﹣h）2＝a，求出A、B坐标即可求解．
【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，
∴函数顶点坐标M为（h，0），
设点M到直线l的距离为a，
则y＝（x﹣h）2＝a，解得：x＝h，
即A（h﹣，a），B（h+，a），
∵AB＝3，∴h+﹣（h﹣）＝3，
解得：a＝，
故选B．
【题型6 二次函数的性质】
1.D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．把点代入求出t的值，即可得到，然后根据m的取值范围得到最值求差解题即可．
【详解】解：，
，
解得：或 (舍去)，
，
，
∴抛物线的对称轴为直线：，
，
，
当时，有最大值，，
当时，有最小值， ，
∴函数的最大值与最小值的差为，
故选：D．
2.D
【分析】由抛物线解析式可得开口向上，对称轴为，根据函数的性质，分为三种情况进行讨论，求出的范围，即可求解．
【详解】解：由抛物线解析式y＝（x﹣1）2可得开口向上，对称轴为，
∴当时，随的增加而减小，当时，随的增加而增大
当时，在对称轴左侧，，不符合题意，
当时，在对称轴右侧，，符合题意，
当时，在对称轴两侧，y2＞y1，可得到对称轴的距离小于到对称轴的距离，即，解得
综上所得：
由此可得答案为：D
3.或
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题．
先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分，和三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∴若，即时，则当时，函数y取最大值，即，
解得：或（舍去），
若，即，则当时，函数y取最大值0，不符合题意；
若，即时，则当时，函数y取最大值，即，
解得：（舍去）或，
综上，h的值为-1或，
故答案为：或．
4.B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、因式分解、不等式的性质，利用作差法比较的大小关系是解题的关键．由抛物线经过点可得，同理可得，利用因式分解的知识得到，再利用不等式的性质逐个分析判断即可得出结论．
【详解】解：抛物线经过点，
，
同理可得：，
，
若，则，，
，即，故①正确；
若，则，，
，即，故②不正确；
若，则，，
，即，故③正确；
若，则，而无法判断的正负性，故无法判断与的大小关系，故④不正确；
综上所述，其中正确的是①③，有2个．
故选：B．
【题型7 二次函数的图象】
1.A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作于点D，
∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴，
∴，，．
∵当时，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
2.
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．先求出，设设点C的坐标为，则点D的坐标为，用含c的式子表示出h，再将代入抛物线解析式，即可得到k的值，本题得以解决．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为，，
∴，
∵抛物线（h、k为常数）与线段交于C、D两点，且，
∴，
∴设点C的坐标为，则点D的坐标为，
∴，
∴抛物线，
把点代入得，
解得，
故答案为：．
3.
【分析】本题考查二次函数的顶点，根据得到顶点坐标，再求顶点坐标满足的函数解析式即可．
【详解】解：∵顶点坐标为，
∴设，消去得，
∴它们的顶点坐标满足的函数解析式是，
故答案为：．
4.D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，面积问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别求出，，结合，列式代入数值计算，即可作答．
【详解】解：依题意，抛物线上存在一点，
故连接，如图所示：
∵点，
∴，
∵与轴交于两点（在的左侧），
∴令，则，
解得
∴，
∴，
∵抛物线上存在一点，使得，
∴，
则，
即，
把代入，得，
解得
观察四个选项，唯有符合题意，
故选：D．
【题型8 二次函数的性质】
1.C
【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值．由解析式可知该函数在时取得最大值2，时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，根据时，函数的最大值为，可分如下两种情况：①若，时，取得最大值；②若，当时，取得最大值，分别列出关于的方程求解即可．
【详解】解：∵，二次函数关于对称，在时取得最大值2，
时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，
①若，当时，取得最大值，
可得：，
解得：或（舍）；
②若，当时，取得最大值，
可得：，
解得：或（舍）．
综上，的值为0或6，
故选：C．
2.C
【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据的范围确定的范围，根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴，，
∴关于的对称点为：，
∵，
∴；
故选C
3.2或
【分析】本题主要考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的对称性质和增减性质，是解决问题的关键．
根据二次函数的对称轴为直线，若，当时，函数y取得最大值，得；若，根据与关于对称轴对称，得当时，y随x增大而增大，得当时，y取得最大值，得．
【详解】∵二次函数，
∴对称轴为直线．
∴当时， 在范围内，当时，函数y取得最大值．
∴；
当时，
∵与关于对称轴对称，当时，y随x增大而增大，且，
∴在范围内，当时，y取得最大值．
∴．
∴a的值为2或．
故答案为：2或．
4.
【分析】将抛物线化为顶点式求出对应的、的值，由得，解出再代入，即可求解．
【详解】解：抛物线，，，
，，
，
解得：或，
，
，
，
，
故答案为：．

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