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【培优专题】二次函数中线段、周长、面积最值问题的四类综合题型
类型一、二次函数中求线段最值的问题
知识点：1.平面直角坐标系中线段长度计算，如平行于坐标轴的线段用坐标差的绝对值表示，一般线段用两点间距离公式。2.二次函数的最值性质：开口方向决定顶点是最大值或最小值点，可通过配方法或顶点公式求最值。 解题技巧：1.转化线段长度为二次函数表达式，如将动点坐标代入长度公式，整理成关于自变量的二次函数。2.结合函数开口方向和自变量取值范围（由动点位置限制确定），求二次函数的最值，即线段的最值。
例1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．m为何值时线段的长度最大，并求出最大值．
【答案】(1)，
(2)当m时，PD是最大值
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出二次函数和直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标；
（2）设，根据P、D的坐标求出长，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数经过，，，
∴将三点坐标代入解析式得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∵直线经过A、B两点，设直线解析式为，
∴将A、B两点代入得，
解得，
∴直线解析式为，
∵点C是直线与y轴交点，
∴令，则，
∴．
（2）解：∵点P在直线上方，
∴，
由题知，，
∴，
∵，
∴当时，是最大值．
【变式】如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为．
(1)求抛物线和一次函数的表达式．
(2)如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】此题考查了二次函数和一次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，正确求出函数表达式是关键．
（1）把分别代入抛物线和一次函数解析式，求出，，即可得到答案；
（2）设点的坐标为，则，得到，根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入，得：，
解得：，
∴二次函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）设点的坐标为，则，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为．
类型二、二次函数中求线段和最值的问题
知识点：1.两点间距离公式及平面几何中线段和的性质，如对称点到两点距离相等。2.二次函数图象上点的坐标特征，动点坐标可表示为含自变量的代数式，便于转化线段和为函数表达式。 解题技巧：1.利用对称转化，将折线和化为直线距离（如作某点关于对称轴或坐标轴的对称点，转化为两点间线段最短）。2.建立函数模型，用动点坐标表示线段和，结合二次函数最值性质（顶点或端点）求解，注意自变量取值范围对结果的限制。
例2．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)抛物线的函数表达式为
(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
【分析】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质．
（1）利用待定系数法求得抛物线的函数表达式，化成顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵点，在抛物线上，
∴点，关于抛物线对称轴对称，
∴由抛物线的对称性得，
，
当时，，则点的纵坐标为，
矩形的周长
，
，
当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
【变式】已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
(1)求点A、B、C三点的坐标；
(2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)16
(3)存在，
【分析】（1）分别令，求出点和点，点的坐标即可；
（2）先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立抛物线解析式组成方程组求出点的坐标，再利用分割法来求解即可；
（3）延长到点，使，过点作轴于点，连接，则与的交点即为点，易得到，进而求出点，易得到解析式，联立直线解析式组成方程组求解．
【详解】（1）解：当时，，
解得；
点坐标为点坐标为；
当时，，
点坐标为．
（2）解：，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：；
直线解析式：．
，设直线的解析式为：，把代入得：
；
则直线解析式为：，
联立解析式有：
解得，；
点坐标为；
．
（3）解：存在．
延长到点，使，过点作轴于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
与关于对称，且为的中点，
点坐标为，，
∴的周长为：，
∴当在线段上时，的周长最小，
同（2）法可得：直线的解析式为；
联立方程组，
解得
点的坐标为；
此时，，
的周长最小值为；
在线段上存在一点，使的周长最小为．
【点晴】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点的坐标的求法，函数图象交点坐标的求法，图形面积的求法，最短路径，二元一次方程组的解法，理解二次函数的图象和性质是解答关键．
类型三、二次函数中求周长最值的问题
知识点：1.平面图形周长的构成，由多条线段长度之和组成，需明确各边与二次函数图象上点的坐标关系。2.二次函数的最值性质及坐标与线段长度的转化，如平行坐标轴线段用坐标差，一般线段用距离公式。 解题技巧：1.分解周长为已知固定线段与可变线段之和，转化为求可变线段和的最值。2.利用对称或几何模型（如两点之间线段最短）转化可变线段和，结合二次函数表达式求最值，注意动点坐标的取值范围限制。
例3．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点C，使得最小，并求出C点的坐标；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的综合应用，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键：
（1）分别令，进行求解即可；
（2）作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴的交点即为点．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，当时，；
∴；
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，
作点关于对称轴的对称点，连接，则：与对称轴的交点即为点，
∵，
∴设直线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：；
∴，
∴当时，；
∴．
【变式】如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，连接交对称轴于点，由点、关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解；
【详解】（1）解：把代入抛物线得，，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵抛物线，
∴抛物线对称轴为直线，
连接交对称轴于点，
∵点、关于对称轴对称，
，
，
由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长，
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
．
类型四、二次函数中求面积最值的问题
知识点：1.平面图形面积计算公式（如三角形底乘高除以2、梯形上下底和乘高除以2），及坐标法求面积（割补法转化为规则图形）。2.二次函数动点坐标特征，可表示为含自变量的代数式，将面积转化为二次函数表达式。 解题技巧：1.用动点坐标表示图形的底和高，结合面积公式列出关于自变量的二次函数。2.确定自变量取值范围，根据二次函数开口方向，求顶点或端点处的最值，注意利用割补法简化面积计算。
例4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，求的最大值；
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）根据题意得到，，代入，解方程组即可；
（2）过D作轴交于M，过B作轴交于N，
令，解方程得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴，，
∵抛物线经过A、C两点，
∴，
∴，
∴；
（2）过D作轴交于M，过B作轴交于N，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴当时，的最大值是．
【变式】如图1，已知抛物线经过三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值；
(3)如图2，若E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②S存在最大值，最大值为7，此时点
【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）根据是定值，可得当最小时，的周长最小，再由点A、B关于对称轴l对称，可得，从而得到的周长最小的最小值为，即可求解；
（3）①先求出直线的解析式，再由点E的横坐标为m，可得点，点，从而得到，然后根据四边形的面积，得到S与m的函数关系；②根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过三点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接交于点P，
∵，
∴，是定值，
∴当最小时，的周长最小，
∵点A、B关于对称轴l对称，
∴，
∴，
∴的周长最小的最小值为，
∴，
∴，
∴的周长最小的最小值为；
（3）解：①∵，
∴顶点，
如图，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点E的横坐标为m，
∴点，
∵轴，
∴点，
∴，
∴四边形的面积
，
即；
②存在，
，
∵，
∴当时，S取得最大值，最大值为7，此时点．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；能利用两点之间线段最短解决最短路径问题．
一、解答题
1．如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)最大值为，此时
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，熟知以上性质是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法即可求得直线的解析式为，设，，则，即可得出，根据二次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：把，，代入得：
，
解得，
抛物线的表达式为，
（2）解：在二次函数中，令，得，
解得：，
，
设直线的解析式为，将代入得，
，解得，
直线的解析式为，
设，，
轴，
，
，
，
当时，最大值为，此时．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点．
(1)求此二次函数的表达式和顶点的坐标；
(2)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】对于（1），将点代入得出方程组，求出解即可；
对于（2），先作轴，截取，得，再证明，
可得，即，然后求出直线的关系式，接下来根据勾股定理求出，当共线时，最小，最后根据勾股定理求出答案．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，顶点；
（2）解：过点在第二象限作轴，截取，则，
∵，
∴，
∴，
则．
设直线的关系式为，
将点代入关系式，
得，
解得，
∴直线的关系式为，
当时，，
∴点，
∴．
∵，
∴．
根据勾股定理，得，
∴．
当共线时，最小，
则，
即的最小值为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，全等三角形的性质和判定，勾股定理，当三点共线时取得最小值是解题关键．
3．如图，抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标；
(3)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数的解析式，二次函数的面积和线段综合，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设所求二次函数的解析式为，再把，，代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，即可求a、b、c，进而可得函数解析式．
（2）连接，交对称轴于P，P即为使的值最小，设直线的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令时，即可求得P的坐标．
（3）先分析出四边形ACMB面积，结合是一个定值，故要使四边形ACMB面积最大，则的面积最大，再整理得，结合二次函数的图象性质，得开口向下，当时，有最大值，然后求出点M的纵坐标，即可作答．
【详解】（1）解：设所求二次函数的解析式为，
把，，代入得
，
解得，
∴这个二次函数的解析式是：．
（2）解：∴，
∴抛物线的对称轴为，
连接，如图所示：
设直线的解析式为，
∴
解得，
∴直线的解析式为，
当时， ，
∴P点的坐标为；
（3）解：过点作轴，分别与轴和交于点，连接，如图所示：
则四边形ACMB面积，
∵是一个定值，
∴要使四边形ACMB面积最大，则的面积最大，
设，
则，
∴．
则
∵
∴开口向下，当时，有最大值，
∴即时，四边形ACMB面积最大，
此时把代入，
得，
∴．
4．如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，顶点为点．
(1)求点，，的坐标；
(2)对称轴上有一点，当最小时，求点的坐标；
(3)二次函数图象上是否存在点，使得，若存在请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)点A、B、C的坐标分别为：
(2)
(3)或或或
【分析】（1）对于，当时，，令，则或3，即可求解；
（2）点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，即可求解；
（3）由，则，即可求解．
【详解】（1）解：对于，
当时，，
令，则
解得：或3，
即点A、B、C的坐标分别为：；
（2）解：点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，
由（1）点，
设直线的表达式为：，
则，
解得：，
∴直线的表达式为：，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
即点；
（3）解：存在，理由：
由抛物线的表达式知，点，
∵，则，
∴，即，
解得：或，
即点Q的坐标为：或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
5．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标．
(3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积S的最大值及此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)四边形面积S的最大值为，此时点
【分析】（1）把点，点的坐标带入，再根据对称轴，解出，，，即可；
（2）设直线与对称轴的交点为点，设直线的解析式为：，把点，点的坐标代入，求出解析式，再根据点在上，求出点的坐标；根据直线垂直平分，则，；根据等量代换，三角形三边的关系，则，当点在直线上，则有最小值，根据，是定值，即可；
（3）根据题意，则点，过点作轴交于点，则点，求出的值，根据四边形面积为：，且，当时，有最大值；再根据，即当时，四边形面积有最大值，最后根据点在，即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：设直线与对称轴的交点为点，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
∴点，
∵直线垂直平分，
∴，
∴，，
当点与点重合时，，此时有最小值，
∴，此时的值最小，
∵，是定值
∴当点时，有最小值，
∴．
（3）解：过点作轴交于点，
设点的横坐标为，
∴，，
∴，
∵四边形的面积，，
∴，
∴，
当时，有最大值，，
∵，
∴当时，四边形面积有最大值为：，
∴．
【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，两点间线段最短，等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，学会运用数形结合是解题的关键．
6．如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由；
(3)在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点坐标为
(3)存在，面积的最大值为，点P的坐标为．
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式、求平面直角坐标系内三角形面积等，解题的关键是用含x的式子表示出的长度．
（1）设函数的解析式为，将B代入求出a值即可；
（2）令，求出点A坐标，进而求出直线的解析式，中，的长度固定，点A、点B关于直线对称，当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小，求出点N的坐标即可；
（3）过点P作轴于点E，交于点F，设，则，F ，利用求出的最大值，再利用求出答案即可．
【详解】（1）解：抛物线的顶点为，
设函数的解析式为，
又函数图象经过点，
，
解得，
，
即抛物线的函数解析式为；
（2）解：存在，
函数的图象与y轴交于点C，
，
，
令，得，
解得，，
，
∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线：，
∵，
∴设直线的解析式为，可得，
解得，
故直线的解析式为：，
∵中，的长度固定，点A、点B关于直线对称，
∴当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小，
将代入中得：，
∴点N的坐标是；
（3）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F，设，则，
点F的坐标为．
，
，
当时，有最大值，最大值为，
此时四边形的面积最大，最大值为
时，，
在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大，面积的最大值为，点P的坐标为．
7．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称．
(1)求直线和抛物线的表达式；
(2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值；
(3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标．
【答案】(1)直线解析式为；抛物线表达式为
(2)线段的最大值为
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，则可求得点C的坐标与抛物线的对称轴，从而求得点D的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）设交y轴于点E，则为等腰直角三角形；过F作轴交于点N，则为等腰直角三角形，；设，则，根据题意建立二次函数，利用二次函数性质求解；
（3）分两种情况：当点P在的右边时，设直线交y轴于点R，易得，求出直线的解析式，得点R的坐标；设，由四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标；当点P在的左边时，同理求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标．
【详解】（1）解：把A、B两点坐标分别代入中，得：，
解得：，
∴；
上式中令，得，即；
∵抛物线的对称轴为直线，C、D关于对称轴对称，
∴;
设直线解析式为，把A、D两点坐标代入得：，
解得：，
∴直线解析式为；
（2）解：如图，设交y轴于点E，
当时，，则，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
过F作轴交于点N，则，
∴为等腰直角三角形，
∴；
设，则，
∴，
由于二次项系数为负，则当时，有最大值，
∴；
即的最大值为；
（3）解：如图，当点P在的右边时，设直线交y轴于点R，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
即；
设直线的解析式，则有，解得，
∴直线的解析式，
上式中令，则，即；
设，
∵四边形为矩形，
∴，
由勾股定理得，
即，
解得：，即；
∵，
∴由平移得；
如图，当点P在的左边时，
同理：由勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
由平移得：；
综上，或．
【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解题的关键．
8．如图，抛物线与直线交于A，B两点，且点的坐标为，点的横坐标为1．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)为直线上方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点．
（ⅰ）当线段取最大值时，求点的坐标；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，过点作交直线于点，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）先求出直线的表达式为，然后求出点的坐标为，将点代入，求出，即可得出答案；
（2）（ⅰ）过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，则点的横坐标也为，得出，，求出， 根据二次函数的最值，得出当时，取得最大值，求出结果即可；
（ⅱ）先求出当抛物线经过点时，，当抛物线经过点时，，得出答案即可．
【详解】（1）解：点在直线上，
，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
点的坐标为，
，
，
将点代入，得，
解得，
抛物线的表达式为．
（2）解：（ⅰ）如图，过点作轴于点，交直线于点．
设直线与轴交于点，则点的坐标为．
，
．
，，
，
，
设点的横坐标为，则点的横坐标也为，
，，
，
当时，取得最大值，
，
点的纵坐标也为．
令，
解得，
点的坐标为．
（ⅱ）由题意，得点的坐标为．
如图，当抛物线经过点时，
，
解得，
当时，，
此时抛物线与线段有两个交点，
当抛物线经过点时，
，
解得，
当时，，
此时抛物线与线段有一个交点，
综上所述，若抛物线与线段只有一个交点，则．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的特点．中小学教育资源及组卷应用平台
【培优专题】二次函数中线段、周长、面积最值问题的四类综合题型
类型一、二次函数中求线段最值的问题
知识点：1.平面直角坐标系中线段长度计算，如平行于坐标轴的线段用坐标差的绝对值表示，一般线段用两点间距离公式。2.二次函数的最值性质：开口方向决定顶点是最大值或最小值点，可通过配方法或顶点公式求最值。 解题技巧：1.转化线段长度为二次函数表达式，如将动点坐标代入长度公式，整理成关于自变量的二次函数。2.结合函数开口方向和自变量取值范围（由动点位置限制确定），求二次函数的最值，即线段的最值。
例1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．m为何值时线段的长度最大，并求出最大值．
【变式】如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为．
(1)求抛物线和一次函数的表达式．
(2)如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值．
类型二、二次函数中求线段和最值的问题
知识点：1.两点间距离公式及平面几何中线段和的性质，如对称点到两点距离相等。2.二次函数图象上点的坐标特征，动点坐标可表示为含自变量的代数式，便于转化线段和为函数表达式。 解题技巧：1.利用对称转化，将折线和化为直线距离（如作某点关于对称轴或坐标轴的对称点，转化为两点间线段最短）。2.建立函数模型，用动点坐标表示线段和，结合二次函数最值性质（顶点或端点）求解，注意自变量取值范围对结果的限制。
例2．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？
【变式】已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
(1)求点A、B、C三点的坐标；
(2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
类型三、二次函数中求周长最值的问题
知识点：1.平面图形周长的构成，由多条线段长度之和组成，需明确各边与二次函数图象上点的坐标关系。2.二次函数的最值性质及坐标与线段长度的转化，如平行坐标轴线段用坐标差，一般线段用距离公式。 解题技巧：1.分解周长为已知固定线段与可变线段之和，转化为求可变线段和的最值。2.利用对称或几何模型（如两点之间线段最短）转化可变线段和，结合二次函数表达式求最值，注意动点坐标的取值范围限制。
例3．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点C，使得最小，并求出C点的坐标；
【变式】如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标．
类型四、二次函数中求面积最值的问题
知识点：1.平面图形面积计算公式（如三角形底乘高除以2、梯形上下底和乘高除以2），及坐标法求面积（割补法转化为规则图形）。2.二次函数动点坐标特征，可表示为含自变量的代数式，将面积转化为二次函数表达式。 解题技巧：1.用动点坐标表示图形的底和高，结合面积公式列出关于自变量的二次函数。2.确定自变量取值范围，根据二次函数开口方向，求顶点或端点处的最值，注意利用割补法简化面积计算。
例4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，求的最大值；
【变式】如图1，已知抛物线经过三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值；
(3)如图2，若E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．
一、解答题
1．如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点．
(1)求此二次函数的表达式和顶点的坐标；
(2)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，求的最小值．
3．如图，抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标；
(3)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标．
4．如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，顶点为点．
(1)求点，，的坐标；
(2)对称轴上有一点，当最小时，求点的坐标；
(3)二次函数图象上是否存在点，使得，若存在请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由．
5．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标．
(3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积S的最大值及此时点的坐标．
6．如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由；
(3)在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由．
7．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称．
(1)求直线和抛物线的表达式；
(2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值；
(3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标．
8．如图，抛物线与直线交于A，B两点，且点的坐标为，点的横坐标为1．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)为直线上方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点．
（ⅰ）当线段取最大值时，求点的坐标；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，过点作交直线于点，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的取值范围．

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