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【培优专题】 二次函数中含字母参数的图象和性质问题的五类综合题型
类型一、二次函数中含参数的图象和性质
知识点：1.含参数二次函数的基本形式（y=ax +bx+c，a≠0）中，参数a、b、c对图象开口方向（a的符号）、对称轴（x=-b/(2a)）、顶点坐标及与坐标轴交点的影响。2.判别式Δ=b -4ac与参数的关系，决定图象与x轴交点个数，以及函数最值（顶点纵坐标）的表达式。 解题技巧：1.对参数分类讨论，如按a的符号分开口向上/向下，按对称轴与给定区间的位置关系分析单调性。2.结合数形结合，画出动态图象草图，标注顶点、交点等关键点，根据参数范围锁定图象特征，解决零点分布、最值范围等问题。
例1．已知二次函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，函数图象的顶点坐标为
B．当时，的值随的增大而增大
C．当，时，的取值范围是
D．当时，的最大值为8，则或
【答案】D
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据条件和二次函数的性质，逐项分析判断原说法的正误即可．
【详解】解：A、当时，，顶点坐标是，故原说法错误，不符合题意；
B、当时，，当时，的值随的增大而增大，但前提条件没有说，故原说法错误，不符合题意；
C、当时，，当时，，解得，故原说法错误，不符合题意；
D、抛物线对称轴是直线．
若，则时，的最大值为8，
∴，
∴；
若，则时，的最大值为8，
∴，
∴．
∴当时，的最大值为8，则或，正确，符合题意；
故选：D．
【变式1-1】在平面直角坐标系中，拋物线经过点，．则下列说法错误的是（ ）
A．若，抛物线的对称轴为直线
B．若且，则的取值范围为或
C．若，则抛物线的开口向下
D．若，点在该拋物线上，且，则有
【答案】D
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质：
若，把点代入，求出a的值，可求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；求出抛物线与x轴的另一个交点为，再根据二次函数的图象，即可求解；
若，把点代入可得，再由，可得，，从而得到抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，然后根据，可得，再根据，可得到对称轴的距离大于对称轴的距离，即可求解．
【详解】解：当时，点，
把点代入得：，
解得：，
∴该函数解析式为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线；选项A说法正确，不符合题意；
令，则，
解得：，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，m的取值范围为或；选项B说法正确，不符合题意；
若，
把点代入得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线开口向下，选项C说法正确，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴到对称轴的距离大于对称轴的距离，
∴．选项D说法错误，符合题意；
故选：D．
【变式1-2】二次函数，有下列结论：
①该函数图象过定点；
②当时，函数图象与轴无交点；
③函数图象的对称轴不可能在轴的右侧；
④当时，点，是曲线上两点，若，，则．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将抛物线整理为，即可判断①，将代入并计算即可判断②，计算抛物线的对称轴并根据即可判断③；根据题意确定对称轴的范围后可确定、的位置，再根据增减性即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：，
当时，，
该函数图象过定点，故①正确；
当时，，
，
函数图象与轴无交点，故②正确；
抛物线的对称轴为：，
，
，
当时，对称轴在轴左侧，当时，对称轴在轴右侧，故③错误；
，
，
，，
，在对称轴左侧，，在对称轴右侧，
，
抛物线开口向上，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大，
当时，，
当时，，
此时，，
，
，
，故④错误，
故选：B．
类型二、利用二次函数的增减性求最值问题中的参数的值多解问题
知识点：1.二次函数增减性与对称轴的关系：开口向上时，对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下时则相反。2.含参数时，对称轴位置（x=-b/(2a)）随参数变化，影响给定区间内的最值点（端点或顶点）。 解题技巧：1.分情况讨论对称轴与区间的位置关系（在区间左、内、右侧），结合增减性确定最值对应的点，列方程求解参数。2.验证解的合理性：将求得的参数代入对称轴，检查是否符合分类前提，避免漏解或增解，确保多解均满足区间内最值条件。
例2．已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数，
∴二次函数的对称轴为直线，
又∵当自变量时，函数有最大值为10，
∴当即时，时取最大值，即，
解得，
当即时，号时取最大值，即，
则
∵，方程没有实数根，
当时即，时取最大值，即，
解得
综上，的值为或，
故答案为：或．
【变式2-1】已知抛物线，为实数，当时，的最大值为4，此时的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案；
【详解】解：∵，
∴对称轴为，函数图象开口向上，
，
，
∴当时，取最大值4，
，
解得：，
故答案为：或．
【变式2-2】已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为 ．
【答案】1或
【分析】先求出二次函数的对称轴，再分与时两种情况，根据二次函数的性质列式解答即可．本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的性质，要注意分与两种情况讨论求解，有一定的难度．
【详解】解：依题意，二次函数的对称轴为直线，
∵，
∴当时，抛物线开口向上，在对称轴直线右侧y随x的增大而增大，
当时y有最大值5，
，
解得：，
当时，抛物线开口向下，时y有最大值5，
，
解得，
故答案为：1或．
类型三、二次函数图象与各项系数符号问题
知识点：1.二次项系数a：决定开口方向（a>0向上，a<0向下）及开口宽窄（|a|越大越窄）。2.一次项系数b与常数项c：b与x轴交点个数。结合a决定对称轴位置（x=-b/(2a)），c为图象与y轴交点纵坐标（c>0交正半轴，c<0交负半轴）；判别式Δ=b -4ac反映与x轴交点个数。 解题技巧：1.从图象特征逆向推系数符号：开口方向定a，y轴交点定c，对称轴位置结合a定b，交点个数定Δ。2.利用特殊点辅助判断：如x=1时y=a+b+c的符号（对应点在x轴上方则为正），x=-1时y=a-b+c的符号，增强判断依据。
例3．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②③；④（为实数）．其中结论正确的为 ．
【答案】②③④
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象判断式子的符号，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，特殊点结合对称轴判断②，特殊点结合平方差公式判断③，最值判断④即可．
【详解】解：由图象可知：，
∴，
∴；故①错误，
当时，，
∴；故②正确；
∵时，函数有最小值，且由图象可知最小值为：，
∴，故③正确；
，
∴；故④正确；
故答案为：②③④
【变式3-1】如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可．
【详解】由图像可知，，，
∴，故①正确．
当x=时，y=0，
即
∴
∴
∴，故②正确．
由对称轴为，与x轴一个交点为可知与x轴另一个交点为
即
化简得，故③正确．
∵对称轴为
∴
∴，
将代入有
即
∴，故④错误．
综上所述①②③正确．
故答案为①②③．
【变式3-2】如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是 (填写正确结论的序号)
【答案】①③④
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．抛物线与轴的交点，熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的，是解题的关键．由二次函数图象的对称轴而可判断①；由时，，结合，即可判断②；判断直线过，两点，根据图象即可判断③；由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离即可判断④．
【详解】解：对称轴为直线，
，
，
，故①正确；
时，，
，
，
，
，故②错误；
，，
，
，
直线与轴的交点为，
直线过，两点，
观察图象，若，则，故③正确；
由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
抛物线开口向下，
．故④正确；
故答案为：①③④．
类型四、一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题
知识点：1.三类函数图象基本特征：一次函数y=kx+b（k≠0）是直线，k定倾斜方向，b定与y轴交点；反比例函数y=k/x（k≠0）是双曲线，k定象限；二次函数y=ax +bx+c（a≠0）是抛物线，a定开口，对称轴和顶点影响形状。2.系数符号关联性：同一题中参数（如k、a、b）在不同函数中需保持一致，可通过图象特征交叉验证。 解题技巧：1.先从特征明显的函数突破（如抛物线开口定a，双曲线象限定k），再代入其他函数验证系数符号是否矛盾。2.利用特殊点或对称性质辅助判断，排除系数符号冲突的选项，锁定符合所有函数图象逻辑的答案。.
例4．如图，二次函数的图象经过点P，若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出是解题的关键．先求出，，再求出，最后判断一次函数图象即可．
【详解】解：由二次函数的图象可知，，，
当时，，
∴的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
【变式4-1】已知一次函数的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出 ，再判断二次函数的图象特征，进而求解．
【详解】解：由一次函数的图象可得： ，
∴二次函数图象的对称轴，在轴的右侧，与轴的交点在正半轴，符合题意的只有A，
故选：A．
【变式4-2】一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则二次函数的图像可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数和一次函数图像，二次函数的性质，观察图像可知：，，，得出二次函数的图像开口向上，对称轴，与y轴的交点在y轴的负半轴，即可得出答案．
【详解】解：观察图像可知：，，，
∴二次函数的图像开口向上，对称轴，与y轴的交点在y轴的负半轴，
故选：B．
【变式4-3】二次函数（）的图象如图所示，则一次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由二次函数的图象可得：，，，可得一次函数的图象经过一，三，四象限，的图象在二，四象限，从而可得答案．
【详解】解：由二次函数的图象可得：，，，
∴一次函数的图象经过一，三，四象限，
的图象在二，四象限，
∴B，C，D不符合题意，A符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键．
类型五、二次函数的图象和性质解决含参数的综合问题
知识点：1.含参数二次函数的核心性质：开口方向（a的符号）、对称轴（x=-b/(2a)）、顶点坐标、最值与参数的关系，以及判别式Δ与零点个数的关联。2.函数与方程、不等式的转化：参数影响下，函数图象与坐标轴交点分布对应方程根的情况，区间内函数值符号对应不等式解集。 解题技巧：1.分类讨论参数对关键特征的影响，如对称轴与给定区间的位置关系，分情况分析单调性与最值，建立参数方程。2.数形结合动态分析：绘制含参数的函数草图，标注顶点、端点等关键点，结合参数范围锁定图象形态，通过交点、最值条件列关系式求解，验证解的合理性。
例5．在平面直角坐标系中，点是抛物线上任意一点．
(1)若，求该抛物线的对称轴；
(2)已知点在该抛物线上，若存在，恰好使．比较的大小，并说明理由．
【答案】(1)直线
(2)，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据抛物线的增减性求解．
（1）把点代入求得，即可根据对称轴公式求得答案；
（2）根据各点到对称轴的距离判断y值大小．
【详解】（1）解：，，点是抛物线上任意一点，
抛物线过点，
即，
抛物线对称轴为直线，即该抛物线的对称轴为直线；
（2）理由如下：
设抛物线对称轴为直线则抛物线上点关于对称轴的对称点为，
存在，恰好使，
，
抛物线开口向下，
在对称轴的左侧y随x增大而增大．
又关于对称轴的对称点为且，
点，，都在对称轴左侧，且
【变式5-1】已知抛物线的顶点在轴上．
(1)求的值；
(2)抛物线上两点，．若，则______（填“”、“”或“”）；
(3)若点，为抛物线上的两点，且，求出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
（1）先配方成顶点式，再利用顶点在x轴上列方程，解方程可得答案；
（2）首先得到抛物线对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小，进而求解即可；
（3）根据题意得到点C到对称轴的距离大于点D到对称轴的距离，然后得到，进而求解即可．
【详解】（1）∵，
∵抛物线的顶点在轴上，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵抛物线上两点，，，
∴；
（3）∵点，为抛物线上的两点，且，
∴点C到对称轴的距离大于点D到对称轴的距离，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴
∴
解得．
【变式5-2】已知抛物线过点．
(1)求的值和抛物线与轴的交点坐标．
(2)将抛物线进行平移得到抛物线，若点，分别在抛物线，上，
①若，且直线与抛物线只有一个交点，求直线的表达式．
②若，求的最大值．
【答案】(1)；
(2)①；②．
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数解析式求解，一次函数解析式的求解，一次函数与二次函数方程联立，求出a的值，即可知抛物线与的解析式，联立一次函数与二次函数是解决本题的关键．
（1）根据抛物线过点，将点代入抛物线方程中即可求解a的值，再令即可求解抛物线与轴的交点坐标；
（2）①设出直线方程，将点和点代入直线方程结合可求解k的值，再根据直线与抛物线只有一个交点，联立直线与抛物线方程由判别式为零可求解b的值，即可得直线方程；
②根据可表示点，，再表示，由二次函数的最值即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线方程为，
令，，
∴抛物线与轴的交点坐标为；
（2）解：①由（1）知，，
∴，
设直线的表达式为，
∵点，在直线上，
∴，
两式相减，，
又∵，
∴，解得，
∴直线的表达式为，
∴联立直线与抛物线：
，消y得，，
整理得，，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴，
即，解得，
∴直线的表达式为；
②∵，
∴点，，
∵点，分别在抛物线，上，
∴，，
则
，
令，是一个开口向下的二次函数，在对称轴处取得最大值，
对称轴，
将代入中，得：
，
∴的最大值为
【变式5-3】已知二次函数（是常数，且）．
(1)若拋物线经过，求二次函数解析式．
(2)在（1）的条件下，抛物线上有一点，向右平移3个单位后仍在该拋物线上，求点的坐标．
(3)若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或3
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质、新定义，分类求解是解题的关键．
（1）把代入解析式计算即可求解；
（2）设点，则平移后点的坐标为：，将该点的坐标代入即可求解；
（3）由抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍得到方程且，即可得到，再根据与的位置关系分情况讨论分别求最小值即可．
【详解】（1）解：∵拋物线经过，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：设点，则平移后点的坐标为：，
将该点的坐标代入得：，
解得：，
则点的坐标为：；
（3）解：存在，
理由：
一个点的纵坐标是横坐标的三倍的点所在图形解析式为：，
得方程组，，整理得：，
∵抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，
∴，即
∴，
当时，，当时，，当时，，
当，即时，在范围内随的增大而减小，则函数在时取得最小值，即，解得或（舍去）；
当，即时，则函数在顶点时取得最小值，即（舍去）；
当，即时，则函数在时取得最小值，即则或（舍去）；
综上，或3．
一、单选题
1．如图，抛物线的顶点坐标为，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．抛物线向下平移个单位后，一定经过
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象特征、顶点坐标公式以及平移性质是解题的关键．根据抛物线的图象特征、顶点坐标公式以及抛物线平移的性质，对每个选项进行分析判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，故A正确．
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，故B正确．
∵抛物线的顶点横坐标为，
∴，故C错误．
抛物线向下平移个单位后，解析式为．
当时，．
由可得，
∴，
∴抛物线向下平移个单位后一定经过，故D正确．
故选：C．
2．已知二次函数在时最小值为，则b的值为（ ）
A．4 B．4或 C． D．或
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解．
【详解】解：由二次函数，
∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上，且顶点坐标为，
当 即 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得：
则，
解得 ，即 ；
∴；
当 即 时，最小值在 处，
则
解得 ，满足 ；
当 即 时，最小值在 处，
则，
解得 ，但 不成立，舍去，
综上，或．
故选：B．
3．关于x的二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数图象的对称轴是直线
B．当时，y的值随x值的增大而增大
C．函数图象一定经过点
D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点
【答案】B
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，函数图象的对称轴是直线；若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小；由题意可知函数图象一定经过点，当时，根据，可知函数图象与x轴一定有两个交点，即可得出答案．
【详解】解：函数图象的对称轴是直线，
故A选项正确，不符合题意；
若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小，
故B选项不正确，符合题意；
将代入，得，
∴函数图象一定经过点，
故C选项正确，不符合题意；
∵，
∴当时，，
∴此时函数图象与x轴一定有两个交点，
故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
4．已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出a，b，c的大小是解题的关键．
先求出，，再判断一次函数图象即可．
【详解】∵二次函数图象开口向上，
∴；
∵对称轴在轴右侧，
∴，
∴；
∵与轴交点在负半轴，
∴．
对于一次函数，，，，故，
∴一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．
二、填空题
5．当时，函数的最大值是8，则 ．
【答案】或
【详解】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．先求得对称轴，根据的取值，再分和两种情况讨论求得即可．
【解答】解：函数的对称轴为直线，
①当时，则时，函数的最大值是8，
把代入得，，
解得；
②当时，则时，函数的最大值是8，
把代入得，，
解得，
故答案为：或．
6．如图，二次函数图像的对称轴是直线，下列结论：①；②；③（m为常数）；④若关于x的方程恰有三个解，则，其中正确的是 （填序号）．
【答案】①②③④
【分析】本题考查根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数图象与各项系数符号．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：由二次函数图象可知，
∵该二次函数对称轴为，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由图象可知，当时，，即．
∵，
∴，故②正确；
当时，y取得最小值，
∴，即，故③正确；
当时，，
∴顶点坐标为，
根据题意得，
即将位于x轴下方的图像向上翻折，
∴翻折后的顶点坐标为，
∵若关于x的方程恰有三个解，
∴即函数与恰有三个解，
即恰好经过向上翻折后的图像的顶点，
∴，
∵，
代入得到，则，
故④正确；
综上可知正确的结论为①②③④，
故答案为：①②③④．
7．已知二次函数（b，c是常数）．
（1）若该抛物线的顶点坐标是，则 ．
（2）若当时，y的最大值为－1，当时，y的最大值为3，则该抛物线的对称轴为直线 ．
【答案】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性；
（1）根据顶点坐标求出解析式，即可得到b和c的值，然后代入计算解题；
（2）由题可得对称轴为直线，然后根据最值得到时，；抛物线顶点的纵坐标是3，然后求出的值解题即可．
【详解】解：（1）由题意得该二次函数的表达式为，
∴，，∴．
故答案为：
（2）由题意，得抛物线的对称轴是直线．
∵当时，y的最大值为－1，当时，y的最大值为3，，
∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，又抛物线的开口向下，
∴当时，，∴；
当时，y的最大值为3，即抛物线顶点的纵坐标是3，
∴，∴，解得，（不合题意，舍去），
∴该抛物线的对称轴为直线．
故答案为：
8．抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为．
（1）a的值为 ．
（2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q在一次函数的图象上．当时，的最大值是 ．
【答案】 1
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，正确求出二次函数解析式是解题的关键。
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求联立两函数解析式，求出两函数的交点坐标，设，，由函数图象可得，当时，在的上方，则，据此求解即可．
【详解】解：（1）把代入中，得，解得．
故答案为：1．
（2）由（1）得抛物线的表达式为，
联立，解得，，
抛物线与直线的交点坐标为，．
设，，由函数图象可得，当时，在的上方，
当时，，
当时，PQ的最大值是．
故答案为：．
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)填空： （用含a的代数式表示）；
(2)当时，y随x的增大而减小．
①求a的取值范围；
②求函数值y的取值范围．
【答案】(1)
(2);
【分析】（1）将已知点代入抛物线方程，解方程组求出b的值。
（2）①根据抛物线的对称轴在轴的右侧确定的范围；②根据自变量端点的函数值，及函数随的增大而减小即可求解．
【详解】解：（1）抛物线经过点 ，代入方程得：
，
再代入点 得，
整理，得，
故答案为：．
（2）①抛物线的对称轴为，代入，得：，
，当时，y随x的增大而减小，
，即，
解得，，
②由（1）知，，
当时，，
当时，
当时，y随x的增大而减小，
．
10．在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）．
(1)若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标．
(2)若函数图象经过点，求证：．
(3)已知函数图象经过点，．若对于任意的，都有成立，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)或
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）可求出，，则；
（3）可得到二次函数开口向上，对称轴为直线设函数图象经过点，．则点在对称轴左侧，当时，，当时，，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为，
∴二次函数的顶点坐标为；
（2）解：∵函数图象经过点，
∴，，
∴
，
∵，
∴；
（3）解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线
设函数图象经过点，．
∴点在对称轴左侧，
∵对于任意的，都有成立，
∴存在如下情况：
如图1，当时，
则关于对称轴的对称点为，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
如图2，当时，
∵，
∴，
解得：，
综上所述，m的取值范围为或．
11．二次函数的图象与x轴交于点，且．
(1)当，且时，
①求b，c的值；
②当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，求t的值；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值．
（1）①将，代入，求出b，c的值即可；
②由①得，二次函数为，可知二次函数图象的顶点坐标为，当时，，进而可得当时，，即，求出t的值即可．
（2）若，则二次函数解析式为，可得，，则，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：①当，时，，，
将，代入，
得，
解得，
②由①得，二次函数解析式为，
∴二次函数图象的顶点坐标为，
当时，，
∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，
∴当时，，
即，
解得，（舍去），
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴，，
∴，
∴当时，取得最小值为．
12．定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，与轴交于点．
(1)若点E的坐标为，求抛物线的解析式；
(2)设的顶点为，若，求点的坐标；
(3)当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)的值为或
【分析】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标；
（2）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式，之后得到函数的顶点，过点作轴于点，连接，进而得到，，，于是根据即可得到结论；
（3）当时得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值．
【详解】（1）解： 与y轴交点的坐标为，，解得．
的解析式为；
（2）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为，
，当时，
的顶点的坐标为，点，
过点作轴于点，连接．
，，，
，
，即．
解得．
点的坐标为；
（3）的解析式为，
当时，，
当时，；
当时，．
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
I．当时，，且当时，函数最大值为；函数的最小值为．，解得或（舍）或（舍）；
当时，函数的最大值为，函数的最小值为．
，解得或（舍）或（舍）；
Ⅱ．当时，，函数的最大值为；函数的最小值为，
，解得（舍）或（舍）；
Ⅲ．当时，，不符合题意，舍去．
综上，的值为或．中小学教育资源及组卷应用平台
【培优专题】 二次函数中含字母参数的图象和性质问题的五类综合题型
类型一、二次函数中含参数的图象和性质
知识点：1.含参数二次函数的基本形式（y=ax +bx+c，a≠0）中，参数a、b、c对图象开口方向（a的符号）、对称轴（x=-b/(2a)）、顶点坐标及与坐标轴交点的影响。2.判别式Δ=b -4ac与参数的关系，决定图象与x轴交点个数，以及函数最值（顶点纵坐标）的表达式。 解题技巧：1.对参数分类讨论，如按a的符号分开口向上/向下，按对称轴与给定区间的位置关系分析单调性。2.结合数形结合，画出动态图象草图，标注顶点、交点等关键点，根据参数范围锁定图象特征，解决零点分布、最值范围等问题。
例1．已知二次函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，函数图象的顶点坐标为
B．当时，的值随的增大而增大
C．当，时，的取值范围是
D．当时，的最大值为8，则或
【变式1-1】在平面直角坐标系中，拋物线经过点，．则下列说法错误的是（ ）
A．若，抛物线的对称轴为直线
B．若且，则的取值范围为或
C．若，则抛物线的开口向下
D．若，点在该拋物线上，且，则有
【变式1-2】二次函数，有下列结论：
①该函数图象过定点；
②当时，函数图象与轴无交点；
③函数图象的对称轴不可能在轴的右侧；
④当时，点，是曲线上两点，若，，则．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型二、利用二次函数的增减性求最值问题中的参数的值多解问题
知识点：1.二次函数增减性与对称轴的关系：开口向上时，对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下时则相反。2.含参数时，对称轴位置（x=-b/(2a)）随参数变化，影响给定区间内的最值点（端点或顶点）。 解题技巧：1.分情况讨论对称轴与区间的位置关系（在区间左、内、右侧），结合增减性确定最值对应的点，列方程求解参数。2.验证解的合理性：将求得的参数代入对称轴，检查是否符合分类前提，避免漏解或增解，确保多解均满足区间内最值条件。
例2．已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ．
【变式2-1】已知抛物线，为实数，当时，的最大值为4，此时的值为 ．
【变式2-2】已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为 ．
类型三、二次函数图象与各项系数符号问题
知识点：1.二次项系数a：决定开口方向（a>0向上，a<0向下）及开口宽窄（|a|越大越窄）。2.一次项系数b与常数项c：b与x轴交点个数。结合a决定对称轴位置（x=-b/(2a)），c为图象与y轴交点纵坐标（c>0交正半轴，c<0交负半轴）；判别式Δ=b -4ac反映与x轴交点个数。 解题技巧：1.从图象特征逆向推系数符号：开口方向定a，y轴交点定c，对称轴位置结合a定b，交点个数定Δ。2.利用特殊点辅助判断：如x=1时y=a+b+c的符号（对应点在x轴上方则为正），x=-1时y=a-b+c的符号，增强判断依据。
例3．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②③；④（为实数）．其中结论正确的为 ．
【变式3-1】如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ．
【变式3-2】如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是 (填写正确结论的序号)
类型四、一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题
知识点：1.三类函数图象基本特征：一次函数y=kx+b（k≠0）是直线，k定倾斜方向，b定与y轴交点；反比例函数y=k/x（k≠0）是双曲线，k定象限；二次函数y=ax +bx+c（a≠0）是抛物线，a定开口，对称轴和顶点影响形状。2.系数符号关联性：同一题中参数（如k、a、b）在不同函数中需保持一致，可通过图象特征交叉验证。 解题技巧：1.先从特征明显的函数突破（如抛物线开口定a，双曲线象限定k），再代入其他函数验证系数符号是否矛盾。2.利用特殊点或对称性质辅助判断，排除系数符号冲突的选项，锁定符合所有函数图象逻辑的答案。.
例4．如图，二次函数的图象经过点P，若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】已知一次函数的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
【变式4-2】一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则二次函数的图像可能是（ ）
A．B．C． D．
【变式4-3】二次函数（）的图象如图所示，则一次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
类型五、二次函数的图象和性质解决含参数的综合问题
知识点：1.含参数二次函数的核心性质：开口方向（a的符号）、对称轴（x=-b/(2a)）、顶点坐标、最值与参数的关系，以及判别式Δ与零点个数的关联。2.函数与方程、不等式的转化：参数影响下，函数图象与坐标轴交点分布对应方程根的情况，区间内函数值符号对应不等式解集。 解题技巧：1.分类讨论参数对关键特征的影响，如对称轴与给定区间的位置关系，分情况分析单调性与最值，建立参数方程。2.数形结合动态分析：绘制含参数的函数草图，标注顶点、端点等关键点，结合参数范围锁定图象形态，通过交点、最值条件列关系式求解，验证解的合理性。
例5．在平面直角坐标系中，点是抛物线上任意一点．
(1)若，求该抛物线的对称轴；
(2)已知点在该抛物线上，若存在，恰好使．比较的大小，并说明理由．
【变式5-1】已知抛物线的顶点在轴上．
(1)求的值；
(2)抛物线上两点，．若，则______（填“”、“”或“”）；
(3)若点，为抛物线上的两点，且，求出的取值范围．
【变式5-2】已知抛物线过点．
(1)求的值和抛物线与轴的交点坐标．
(2)将抛物线进行平移得到抛物线，若点，分别在抛物线，上，
①若，且直线与抛物线只有一个交点，求直线的表达式．
②若，求的最大值．
【变式5-3】已知二次函数（是常数，且）．
(1)若拋物线经过，求二次函数解析式．
(2)在（1）的条件下，抛物线上有一点，向右平移3个单位后仍在该拋物线上，求点的坐标．
(3)若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
一、单选题
1．如图，抛物线的顶点坐标为，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．抛物线向下平移个单位后，一定经过
2．已知二次函数在时最小值为，则b的值为（ ）
A．4 B．4或 C． D．或
3．关于x的二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数图象的对称轴是直线
B．当时，y的值随x值的增大而增大
C．函数图象一定经过点
D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点
4．已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．当时，函数的最大值是8，则 ．
6．如图，二次函数图像的对称轴是直线，下列结论：①；②；③（m为常数）；④若关于x的方程恰有三个解，则，其中正确的是 （填序号）．
7．已知二次函数（b，c是常数）．
（1）若该抛物线的顶点坐标是，则 ．
（2）若当时，y的最大值为－1，当时，y的最大值为3，则该抛物线的对称轴为直线 ．
8．抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为．
（1）a的值为 ．
（2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q在一次函数的图象上．当时，的最大值是 ．
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)填空： （用含a的代数式表示）；
(2)当时，y随x的增大而减小．
①求a的取值范围；
②求函数值y的取值范围．
10．在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）．
(1)若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标．
(2)若函数图象经过点，求证：．
(3)已知函数图象经过点，．若对于任意的，都有成立，直接写出m的取值范围．
11．二次函数的图象与x轴交于点，且．
(1)当，且时，
①求b，c的值；
②当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，求t的值；
(2)若，求的最小值．
12．定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，与轴交于点．
(1)若点E的坐标为，求抛物线的解析式；
(2)设的顶点为，若，求点的坐标；
(3)当时，的最大值与最小值的差为，求的值．

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