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建平中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题
1．已知集合，，则________．（用列举法表示）
2．已知复数，其中是虚数单位，则________．
3．双曲线的渐近线方程为________．
4．二项式的展开式中常数项为________．
5．已知随机变量服从正态分布，且，则________．
6．已知，函数在上单调递增，其图像不过坐标原点，则________．
7．函数的单调递增区间是________．
8．有甲、乙两袋，甲袋中有4个白球，1个红球；乙袋中有2个白球，2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为________．（结果为精确值）
9．在中，，，，在线段上（包括端点），则的取值范围是________．
10．已知且，且，则________．
11．已知函数，．若有两个极值点，，且恒成立，则实数的取值范围为________．
12．不透明的袋中装有编号为1，2，…，10的10个小球，现从中随机有放回地取4次，每次取1个球，已知摸出的球中有编号为5的球，则摸出的球中最大编号大于等于7的概率是________．
二、单选题
13．通过随机抽样，收集了若干朵鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的回归方程为，根据以上信息，下列命题正确的是（ ）
A．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cm
B．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8642
C．花瓣长度和花萼长度负相关
D．花瓣长度和花萼长度存在一次函数关系
14．设，为实数，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
15．下列四个命题中，真命题的个数是（ ）
（1）若，则
（2）若，则
（3）若，且，为互斥事件，则，不为独立事件
（4）若，和为互斥事件，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．若函数满足：对任意，，，都有，则称函数具有性质．请判断下列两个命题的真假性（ ）
①已知函数具有性质，且值域是一个开区间，则是奇函数
②已知函数具有性质，，若在上严格增，则是奇函数
A．①真②真 B．①假②假 C．①假②真 D．①真②假
三、解答题
17．设数列的前项和．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的最小的项．
18．如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点．
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积．
19．某经销商在某地5个位置对甲乙两种类型的网络进行掉线次数测试，得到数据如右表所示：
甲 4 3 8 6 12
乙 5 7 9 4 3
（1）如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，根据小概率值的独立性检验，能否说明网络状况与网络的类型有关？
（2）若该经销商要在上述接受测试的甲地5个地区中任选3个，求，两个地区同时被选到的概率；
（3）若该经销商要在上述接受测试的甲地5个地区中任选3个，以表示所选位置中网络状况为“糟糕”的位置个数，求随机变量的分布及数学期望．
附：，其中．
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．已知点在抛物线：（）上，点为的焦点，且．过点作直线与及圆依次相交于点，，，，如图．
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）求的值；
（3）过，点分别作的切线，，且与相交于点，已知三角形外接圆的圆心为，求的最小值．
21．牛顿法又称切线法，是牛顿提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是方程的解，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：、、…、，根据已有精确度，当时，取为方程近似解．已知函数，，其中，．
（1）当时，试用牛顿法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留两位小数）
（2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题．
（ⅰ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小；
（ⅱ）当时，若关于的方程的两个根分别为，（），证明：．（参考数据：，时，）
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.;
7.; 8.; 9.; 10.； 11.
12.
二、选择题
13.A 14.D 15.C 16.C
15．下列四个命题中，真命题的个数是（ ）
（1）若，则
（2）若，则
（3）若，且，为互斥事件，则，不为独立事件
（4）若，和为互斥事件，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】（1）真，独立事件的对称性；（2）假，反例验证不成立；
（3）真，互斥与独立矛盾；（4）真，条件概率加法公式成立；真命题共3个，故选C.
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1）有关 （2） （3）分布列如下，
20．已知点在抛物线：（）上，点为的焦点，且．过点作直线与及圆依次相交于点，，，，如图．
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）求的值；
（3）过，点分别作的切线，，且与相交于点，已知三角形外接圆的圆心为，求的最小值．
【答案】（1）或； （2）
（3）
【解析】（1）因为点在抛物线上，点为的焦点，且，
所以点到抛物线准线的距离，解得，
则抛物线的方程为，将点代入抛物线方程中，可得，
所以，所以或；
（2）易知抛物线的焦点与的圆心重合，此时该圆的圆心为，
因为直线斜率存在，不妨设直线方程为
联立，消去并整理得，此时，
由韦达定理得，
由抛物线的定义知
所以，故
21．牛顿法又称切线法，是牛顿提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是方程的解，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：、、…、，根据已有精确度，当时，取为方程近似解．已知函数，，其中，．
（1）当时，试用牛顿法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留两位小数）
（2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题．
（ⅰ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小；
（ⅱ）当时，若关于的方程的两个根分别为，（），证明：．（参考数据：，时，）
【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ）证明见解析
【解析】（1）当时，令则，
又，曲线在处的切线为，
令，得，则．又
曲线在处的切线为，
令，得则．
故用牛顿选代法求方程满足精度的近似解为；
（2）（i）设点的坐标为，则．，则，
曲线在点处的切线方程为，
令，即，则．
因为在上单调递增，所以在上单调递增．
又因为，所以当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意的正实数都有，即当时，都有．
（ii）证明：因为在上单调递增，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是在的极小值点，也是在的最小值点，
即．又，
所以当方程有两个根时，必满足且
曲线过点和点的割线方程为．
下面证明：．
设，则，
所以当时，，当时，
所以在上单调递增，，在上单调递减，，所以当时，，即
因为所以，解得①.
曲线过点和点的割线方程为．
下面证明：，
设
则在上单调递增，
因为所以，即，
所以，即．由零点存在性定理可知，存在，
使得．所以当时，，当时，；
所以在上单调递增，，在上单调递减，,所以当时，，即
因为，所以，解得②
由②－①，得
即证得

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