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【培优专题】 二次函数中的等腰三角形、直角三角形存在性问题的三类综合题型
类型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题
1.解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标；再分三种情况（两腰为已知边、一动一静边、两动边）讨论等腰三角形构成。 2.解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算；利用二次函数对称性减少分类，结合图形范围验根防漏解。 3.解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数；辅以几何法（如垂直平分线性质）快速定位可能点，最后结合函数定义域确定有效解。
例1．如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C．
(1)求二次函数的表达式和线段的长；
(2)在抛物线对称轴上找一点P，使为等腰三角形？直接写出点P的坐标．
【变式1-1】如图，抛物线经过点，且顶点B的坐标为，对称轴与x轴交于点C．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)在第一象限内的抛物线上找点P，使是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．
【变式1-2】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值；
(3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标．
类型二、二次函数中的直角三角形存在性问题
1.解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如A、B），设抛物线上动点P(x,y)，分∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°三类讨论直角顶点。 2.解题技巧：用勾股定理（PA +PB =AB 等）或斜率乘积为-1（垂直）列方程，借抛物线表达式消y，结合x范围验根。 3.解题方法：代数法为主，列坐标方程求解；辅以几何法（过A、B作垂线交抛物线得P），结合图形验证直角合理性。
例2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线过点．
(1)求该抛物线的解析式及点A、点B的坐标；
(2)如图1，连接AC，抛物线的对称轴上是否存在点M，使是直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-1】如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-2】如图，已知抛物线经过点，，顶点为，与轴交于点，且与直线交于点 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)求的面积；
(3)若点为抛物线上的一个动点，是否存在以为直角边的直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P，分∠A、∠B、∠P为直角顶点三类，每类需满足“直角”+“两直角边相等”。 2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消y；利用斜率（垂直时积为-1）简化计算，结合图形限x范围。 3.解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解；几何法构造全等（如过P作横纵垂线，使直角边等长），验证交点合理性。
例3．如图，抛物线经过，两点，与轴相交于点，连接，点为线段上方抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)过点作直线，为垂足，当点运动到何处时，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形？并求出此时点的坐标．
【变式3-1】如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形．
(1)求的值；
(2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．
(1)求线段的长；
(2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点．
（ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标；
（ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
一、解答题
1．如图，已知抛物线的图像与轴相交于、两点，顶点为，对称轴与轴交于点，点在线段上（不与、重合），过点作轴的平行线交对称轴左侧的抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点 C的坐标；
(2)若是以为底的等腰三角形，直接写出点 E 的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点
(1)求抛物线解析式；
(2)若点为抛物线部分上一动点（可与，两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，直接写出的值．
3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点
(1)求抛物线的表达式；
(2)若在抛物线上存在点，使得，是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标
4．如图1，抛物线经过点和点，与轴交于点，是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)当点的坐标为时，求的面积．
(3)如图2，连接，当是以为直角边的直角三角形时，求点的坐标．
5．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m．
(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式．
(2)在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为．
(1)请求出点，，的坐标；
(2)若是第二象限的抛物线上的一个动点（不与重合），过点作轴交于点，求线段长度的最大值；
(3)若为直线上的动点，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出坐标．中小学教育资源及组卷应用平台
【培优专题】 二次函数中的等腰三角形、直角三角形存在性问题的三类综合题型
类型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题
1.解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标；再分三种情况（两腰为已知边、一动一静边、两动边）讨论等腰三角形构成。 2.解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算；利用二次函数对称性减少分类，结合图形范围验根防漏解。 3.解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数；辅以几何法（如垂直平分线性质）快速定位可能点，最后结合函数定义域确定有效解。
例1．如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C．
(1)求二次函数的表达式和线段的长；
(2)在抛物线对称轴上找一点P，使为等腰三角形？直接写出点P的坐标．
【答案】(1)；；
(2)或或．
【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）代入和，解方程组即可；令，求出点的坐标，利用两点间距离公式求解即可；
（2）当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①；②；③，分别求解即可．
【详解】（1）解：把和代入可得，
解得：，
∴二次函数的表达式为：；
令抛物线，则，
∴，
∴；
（2）存在．
理由：∵，
∴设，
∵，，
∴，，
∵，为等腰三角形，
∴当时，，
解得：，此时；
当时，，
解得，此时；
当时，，
解得：，此时；
综上所述，或或．
【变式1-1】如图，抛物线经过点，且顶点B的坐标为，对称轴与x轴交于点C．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)在第一象限内的抛物线上找点P，使是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)点的坐标为
【分析】本题是二次函数的综合题，涉及的知识点主要有运用待定系数法求抛物线的解析式、等腰三角形的性质以及平面内两点间的距离公式．
（1）由抛物线的顶点坐标是知：，，则．再把代入此解析式求解即可；
（2）连接、则设点的坐标为，则根据平面内两点间的距离公式可得，的值，令二者相等求解即可．
【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为，
．
抛物线经过点，
，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图，连接、．
设点的坐标为．
，
．
，
．
整理，得，
解得（舍去）．
当时，，
点的坐标为．
【变式1-2】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值；
(3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)；面积最大值为
(3)点M的坐标为，，
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）如图，过点P作轴交于点E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函数的性质即可得解；
（3）分①当时，②当时，两种种情况讨论，即可求解；
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴，
将代入得，
由①②得，，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令得，
∴，，
∴，
令得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解方程得，
∴直线的解析式为，
如图，过点P作轴交于点E，
设P点坐标为，则，，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴，
∴此时P点坐标为；
（3）解：∵对称轴与x轴交于点N，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，、
①当时，
如图所示有，，
②当时，过点C作，
∵，，
∴，
∴，
综上所述：点M的坐标为，，．
类型二、二次函数中的直角三角形存在性问题
1.解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如A、B），设抛物线上动点P(x,y)，分∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°三类讨论直角顶点。 2.解题技巧：用勾股定理（PA +PB =AB 等）或斜率乘积为-1（垂直）列方程，借抛物线表达式消y，结合x范围验根。 3.解题方法：代数法为主，列坐标方程求解；辅以几何法（过A、B作垂线交抛物线得P），结合图形验证直角合理性。
例2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线过点．
(1)求该抛物线的解析式及点A、点B的坐标；
(2)如图1，连接AC，抛物线的对称轴上是否存在点M，使是直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)存在，的坐标为或或或．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，勾股定理等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）把代入可得，故抛物线的解析式为，令解得或，从而；
（2）求出，抛物线的对称轴为直线，设，可得，，，分三种情况，用勾股定理列方程可解得答案．
【详解】（1）解：把代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
在中，令得：，
解得：或，
，；
（2）解：抛物线的对称轴上存在点，使是直角三角形，理由如下：
在中，令，得，
，
，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
，
，，，
①当为斜边时，，
解得：或，
或，
②当为斜边时，，
解得：，
，
③当为斜边时，，
解得：，
综上所述，的坐标为或或或．
【变式2-1】如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为，，，
【分析】（1）把A，B两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组求出b，c的值即可；
（2）分三种情形：当为斜边时，当为斜边时，当为斜边时，再利用勾股定理分别求解即可．
【详解】（1）解：将点，的坐标分别代入，
得
解得
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）解：存在．理由如下：
由抛物线的函数表达式知，抛物线的对称轴为直线，
∵，
当时，，
∴，
∴设点．
由点，，的坐标，得
，，
．
当为斜边时，，
整理得：，
解得或，
∴点或；
当为斜边时，，
解得，
∴点；
当为斜边时，，
解得，
∴点．
综上所述，点的坐标为，，，．
【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式2-2】如图，已知抛物线经过点，，顶点为，与轴交于点，且与直线交于点 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)求的面积；
(3)若点为抛物线上的一个动点，是否存在以为直角边的直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点的坐标为；
(2)；
(3)存在满足条件的 点，其坐标为或．
【分析】本题考查了两点间的距离，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的性质，二次函数与几何图形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法求解析式即可；
（）联立求出，则，过顶点作 轴的平行线与直线交于点，求出，所以，然后由即可求解；
（）设，则，，，然后分当和当两种情况，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，即，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：联立，
解得：或，
∴，
∵，
∴，
如图，
过顶点作轴的平行线与直线交于点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在，理由如下，
∵，，点为抛物线上的一个动点，
∴设，
∴，
，
，
由于以为直角边的直角三角形，
当，
∴，
整理得：，即，
解得：或（舍去），
∴，
∴点；
当，
∴，
整理得：，即，
解得：或（舍去），
∴，
∴点，
综上可知：点的坐标为或．
类型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P，分∠A、∠B、∠P为直角顶点三类，每类需满足“直角”+“两直角边相等”。 2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消y；利用斜率（垂直时积为-1）简化计算，结合图形限x范围。 3.解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解；几何法构造全等（如过P作横纵垂线，使直角边等长），验证交点合理性。
例3．如图，抛物线经过，两点，与轴相交于点，连接，点为线段上方抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)过点作直线，为垂足，当点运动到何处时，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形？并求出此时点的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)．
【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）把，两点代入即可求解；
（）由直线，则，轴，又，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，则有，设，则，，然后分当在上方时和当在下方时两种情况分析，然后解方程并检验即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵直线，
∴，轴，
∵，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，
∴，
由抛物线的解析式为得，当时，，
∴，
∴，
设，则，，
∴当在上方时，，
解得：或，
∴此时与重合，舍去；或，
当在下方时，，
解得：或，
∴，此时与重合，舍去；或，此时与重合，舍去；
综上可得：．
【变式3-1】如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形．
(1)求的值；
(2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1
(2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为
【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置．
（1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值；
（2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标．
【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为，
∴新抛物线的顶点为，
∴，
当时，，
∴点B的坐标为，即，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，解得：或0（舍去），
∴a的值为1；
（2）解：存在，理由如下：
如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴、为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线，
∴点C的坐标为，
故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为．
【变式3-2】如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．
(1)求线段的长；
(2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点．
（ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标；
（ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）或．
【分析】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质．
（1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解；
（2）（Ⅰ）由题意知点的坐标为，点的坐标为，即可求解；
（Ⅱ）由得到当时，为等腰直角三角形，再根据点在对称轴右侧或左侧分情况讨论，分别画出图形求解即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线，
，
解得，
抛物线的解析式为．
令，得，解得，，
，，
；
（2）解：（ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为．
令，得，
．
设直线的解析式为，
将，代入，得
解得，
直线的解析式为，
由题意知点的坐标为，点的坐标为，
，
当时，线段的长有最大值，
此时，
点的坐标为；
（ⅱ），
，
即当时，为等腰直角三角形．
①如图1，点在对称轴右侧．
，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为，
．
由（ⅰ）知，
，
解得或（不合题意，舍去），
；
②如图2，点在对称轴左侧．
，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为，
．
由（ⅰ）知，
，
解得或（不合题意，舍去），
．
存在，的值为或．
一、解答题
1．如图，已知抛物线的图像与轴相交于、两点，顶点为，对称轴与轴交于点，点在线段上（不与、重合），过点作轴的平行线交对称轴左侧的抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点 C的坐标；
(2)若是以为底的等腰三角形，直接写出点 E 的坐标．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据抛物线的对称轴为直线，得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得出，把代入得：，求出或，即可得出点E的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点A和点B，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：，
当时，，
∴顶点C的坐标为；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵轴，
∴，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：或，
∵点E在抛物线对称轴的左侧，
∴．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点
(1)求抛物线解析式；
(2)若点为抛物线部分上一动点（可与，两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线的解析式为，，由两点之间距离公式求得、、，然后分情况讨论等腰三角形的腰相等并分别计算即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴将点代入，得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为．
∵点M在直线上，且点，
∴点M的坐标为．
将代入，则，
∴，
∴，
∴，
．
当为等腰三角形时，
（ⅰ）若，则，
即，解得．
（ⅱ）若，则，
即，解得或（舍去）．
（ⅲ）若，则，
即，解得或（舍去）．
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点之间距离公式、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题．
3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点
(1)求抛物线的表达式；
(2)若在抛物线上存在点，使得，是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标
【答案】(1)
(2)或或
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，解方程组，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据题意求出，用待定系数法求函数解析式即可
（2）先求出直线的解析式，分两种情况讨论当时，当时，分别求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴，，
，
将代入得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：将代入得，
，
直线的解析式为，
抛物线对称轴与轴交于点，
当时，，
，
设，则，，，
当时，由，
，
即，
解方程组得或，
点的坐标为；
当时，，
，
即，
解方程组得或，
点的坐标为或，
综上所述，点的坐标为或或．
4．如图1，抛物线经过点和点，与轴交于点，是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)当点的坐标为时，求的面积．
(3)如图2，连接，当是以为直角边的直角三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)点的坐标为或．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线的解析式，得到的长，再利用三角形面积公式即可求解；
（3）分两种情况：①点为直角顶点，②点为直角顶点，分别求解即可．
【详解】（1）解：把点和点代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：设交轴于点，如图：
当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵是以为直角边的直角三角形，
∴分两种情况：①点为直角顶点，②点为直角顶点，
①过点作交抛物线于点，交轴于点，连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立得：，
解得：或（舍去），
∴，
②过点作交抛物线于点，连接，如图：
∵，，
∴，
设直线的解析式为：，
把点代入得：，
∴直线的解析式为：，
联立得：，
解得：或（舍去），
∴，
综上，点的坐标为或．
5．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m．
(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式．
(2)在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)存在，m的值为3或2
【分析】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质等知识：
（1）令，求出x的值，得点A，B的坐标，令，得y的值，可得点C坐标，再设直线的解析式为，把代入并求出k的值即可；
（2）分和两种情况利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得或，
∴，，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：存在m使得为等腰直角三角形，理由如下：
∵点P的横坐标为m，且，
∴点P的坐标为，
∴，，
∴，
，
；
∵，，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，即，
解得或（舍）或（舍）；
当时，，
∴，
∴，即，
解得或（舍）；
综上所述：m的值为3或2．
6．如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为．
(1)请求出点，，的坐标；
(2)若是第二象限的抛物线上的一个动点（不与重合），过点作轴交于点，求线段长度的最大值；
(3)若为直线上的动点，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出坐标．
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在；或
【分析】（1）令抛物线解析式中，解关于的一元二次方程即可得出点、的坐标，再令抛物线解析式中求出值即可得出点坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点的坐标；
（2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）假设存在，设点，分，和三种情况考虑，根据等腰直角三角形的性质结合点、点的坐标找出点的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于的一元二次方程，解方程求出的值，再代入点坐标中即可得出结论．
【详解】（1）解：当时，
解得：，，
，
当时，，
，
，
；
（2）解：设直线解析式为，
由得，
解得，
直线的解析式为，
轴，
、的横坐标相同，并且、分别在抛物线和直线上，
设，
在第二象限，
，
，
，抛物线开口向下，
时，长度最大，最大值为；
（3）解：在抛物线上存在点，使得为等腰直角三角形，理由如下：
假设存在，设点，为等腰直角三角形，分三种情况：
当时，设与轴交于，如图2，
，，
，
，
，，
，
点在抛物线上，
，
解得：（舍去），，
此时点的坐标为；
当时，
为等腰直角三角形，
，
又，
在上，
过作于，如图，
则，
，
，
，
点在抛物线上，
，
解得：（舍去），，
此时点的坐标为；
当时，，如图，
点在抛物线上，
，
解得：（舍去），，
此时点的坐标为，，
，
综上所述，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，顶点坐标，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程等知识点，解答本题的关键是能够熟练运用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题．

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