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【培优专题】 二次函数中的角度存在性问题的四类综合题型
类型一、二次函数中的等角存在性问题
知识点：1. 二次函数图像性质，如对称轴、顶点坐标、单调性，用于确定点的位置关系；2. 等角的几何判定，包括等腰三角形性质（等边对等角）、平行线性质（同位角/内错角相等）、全等/相似三角形对应角相等。 解题技巧：1. 构造辅助线，如作对称点、平行线或垂线，转化等角为已知角或易求角；2. 代数化处理，设点坐标，利用三角函数（正切值相等）或斜率表示角的关系，列方程求解。
例1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，将沿着翻折，使点落在点处．

(1)求二次函数的表达式及点的坐标．
(2)求直线的表达式．
(3)为抛物线上一点，连接，当时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为，；
(2)；
(3)点的坐标为或．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由得为直角三角形，则点是的中点，求出点，即可求解；
（3）当点在直线下方的抛物线上时，则，则点与关于对称轴对称，当点在直线的上方时，设交轴于，则，设，则，在中，由勾股定理得方程，可求出点的坐标，从而求出直线的解析式，与抛物线求交点即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
令，则或，
即点；
（2）解：由点、、的坐标得，，，，
则，
即为直角三角形，
由将沿着翻折，使点落在点处知，点是的中点，
由中点坐标公式得，点，
由、的坐标得，直线的表达式为：；
（3）解：当点在直线下方的抛物线上时，则，
点与关于对称轴直线对称，
，
当点在直线的上方时，

设交轴于，
则，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
解得，
，
直线的解析式为，
，
解得，（舍），
，
综上：点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程的解法等知识，分点在直线的上方和下方两种情形是解题的关键．
【变式1-1】如图所示，已知抛物线，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点D，且满足，顶点为C．
(1)求m的值；
(2)①求抛物线顶点C的坐标；
②若将该抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式；
(3)已知点P为异于点A的该抛物线上的一个点，并且，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出的值即可；
（2）①一般式转化为顶点式，写出顶点坐标即可；②根据平移规则写出新的函数解析式即可；
（3）作点关于的对称点，交于点，连接并延长，与抛物线的交点即为点，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
（2）①由（1）可知：，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为：；
②该抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到：
，即：；
（3）作点关于的对称点，交于点，连接，过点作，则：，，
∵，
∴点在射线上，延长与抛物线的交点即为点，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
∴，
联立，解得：（舍去）或，
∴．
【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点．交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点是直线上方抛物线上一动点．连接，．求面积最大值及此时点的坐标；
(3)将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的负半轴交于点．点为平移后的新抛物线上一动点，当．请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）将点的坐标和代入解析式，即可求解；
（2）过点作轴，交轴于，交于，待定系数法求得直线的解析式为， 设，，，则有，由及二次函数的性质即可求解；
（3）由二次函数图象平移得，①当时，由平行线的判定方法得，由待定系数法得直线的解析式为，联立二者解析式，即可求解；②当时，直线与直线关于轴对称，直线经过关于轴对称点，同理可求．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴，交轴于，交于，
当时，，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
设，
，
，
，
，
点是直线上方抛物线上一动点，
，
，
当时，
，
，
，
故面积最大值为，此时点的坐标为；
（3）解：由题意得
，
，
，
①当时，如图，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：，，
；
②当时，如图，
直线与直线关于轴对称，
直线经过关于轴对称点，
同理可求直线的解析式为，
联立，
解得：，，
；
综上所述：的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数与三角形面积最值综合问题，二次函数与角度综合问题，掌握待定系数法，能熟练利用二次函数的性质求最值及分类讨论思想解题问题是解题的关键．
类型二、二次函数中的倍角存在性问题
知识点：1. 三角函数倍角公式（如tan2α=2tanα/(1-tan α)），通过角的正切值关系转化代数等式；2. 几何构造中倍角与等腰三角形关系（如外角等于不相邻内角2倍）。 解题技巧：1. 代数法：设点坐标表示角的正切值，代入倍角公式列方程求解；2. 几何法：构造含倍角的等腰三角形，利用对称性或全等转化角的关系，结合函数图像找点。
例2．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标．
【答案】(1)二次函数的表达式为
(2)
【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过点C作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点G，根据条件得到是等腰直角三角形，则，设，则，再列方程解题即可．
【详解】（1）解：将，代入，得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：对于，令，得，
解得，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
如图，过点C作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点G，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得（舍去）或，
∴当时，，
∴．
【变式2-1】如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设四边形的面积为，求的最大值；
(3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)S的最大值为
(3)
【分析】（1）将，代入，即可求解；
（2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可；
（3）由题意得到，则，设，由，求出即可．
【详解】（1）解：将，代入，得：
，
，
；
（2）解：过点P作轴于点N，如图所示，

令，则，
∴，
∴，
∵P为第四象限内抛物线上一点，设点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵
∴当时，S有最大值，．
（3）解：如图，

∵轴，轴，
∴，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键．
【变式2-2】如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为．
(1)求抛物线M的表达式和点A的坐标；
(2)点F是线段上一动点，求周长的最小值；
(3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)最小值为
(3)P的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求出表达式然后求出点A的坐标即可；
（2）首先得到直线的表达式为：，作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点，勾股定理求出，，进而求解即可；
（3）抛物线N由抛物线M平移得到，求出抛物线N的表达式为，得到顶点P的坐标为，，作于H，则，在中，，得到，进而列方程求解即可．
【详解】（1）∵顶点D的坐标为，
设二次函数表达式为
将点代入得
∴抛物线M的表达式为：
当时，或1，
∵点A在点B左侧，
∴点A的坐标为；
（2）当时，，
∴点C的坐标为
∴设直线的表达式为：
故解得
∴，
，
，
，
作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点
，
∴所在直线垂直于y轴，
关于的对称点，
∴点的坐标为，
∴点G的横坐标为
将代入得，
∴点G的坐标为，
∵，，
∴，
∴
即周长的最小值为；
（3）∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为
将点代入得：，
∴抛物线N的表达式为
∴顶点P的坐标为，
将代入，，
∴，
作于H，则，
∵
∴点H为点P和点Q的中点，
∴
∴
又∵
∴
在中，
∴，
∴
或
∴解第一个方程可得（舍），
解第二个方程可得（舍），
将代入P点坐标，
P的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，并灵活运用分类讨论及数形结合的思想分析解决问题是解题的关键．
类型三、二次函数中的特殊角存在性问题
知识点：1. 特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值（如tan45°=1、sin30°=0.5），用于建立线段比例关系；2. 二次函数与坐标几何结合，如两点间距离公式、直线斜率与倾斜角关系。 解题技巧：1. 几何构造：过动点作坐标轴垂线，构造含特殊角的直角三角形，利用边角比表示坐标关系；2. 代数转化：设点坐标，用斜率或距离公式表示角的三角函数值，结合函数解析式列方程求解。
例3．已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点．
(1)求点、点的坐标及抛物线的解析式；
(2)求的面积；
(3)若点是轴上一点．且．求点坐标．
【答案】(1)，，抛物线解析式为
(2)15
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求一次函数解析式：
（1）先求出一次函数解析式，进而求出点A坐标，再求出抛物线解析式，进而联立两函数解析式求出点C的坐标即可；
（2）根据列式计算即可；
（3）过点C作轴于D，可证明是等腰直角三角形，得到；当点Q在点A上方时，，当点Q在点A下方时，，两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：把代入中得：，解得，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴；
把代入中得，解得，
∴抛物线解析式为，
联立，解得或，
∴
（2）解：
；
（3）解：如图所示，过点C作轴于D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
当点Q在点A上方时，∵，
∴，
∴，
∴，
∴的坐标为；
当点Q在点A下方时，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或．
【变式3-1】如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．
(1)求m的值和直线对应的函数表达式；
(2)P点是对称轴上的一点，当的值最小时，求点P的坐标；
(3)Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）根据对称性得到，进而得到当点在线段上时，的值最小，进行求解即可；
（3）过点作且，过点作轴，证明，求出点坐标，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可．
【详解】（1）解：把代入，得：
，
解得：或（舍去）；
∴，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴；
（2）∵，
∴对称轴为直线，
∵关于对称轴对称，
∴，
∴当点在线段上时，最小，
∵点在对称轴上，
∴，
把代入，得：，
∴；
（3）∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点作且，过点作轴，
则：，，
∴，点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：；
∴直线的解析式为：，
联立，解得：或；
故．
【变式3-2】如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是抛物线的顶点，求出的面积；
(3)如图2．连接，点P是抛物线上的一动点，且满足，请直接写出点P坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将点和代入可得，再解方程组可得答案；
（2）如图，连接，记与轴的交点为，求解及的解析式，再求解的坐标，最后利用三角形的面积公式计算即可；
（3）如图，连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可.
【详解】（1）解：将点和代入可得：
∴，解得，
∴．
（2）解：如图，连接，记与轴的交点为，
∵，
∴，
当时，，
∴，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
当时，解得，
∴，
∴.
（3）解：如图，连接，取，连接交抛物线于，
∵，，，
∴，，而，
∴，，
∴，
∴，即，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
∴，
解得：或，
∴，
如图，关于直线对称的，
∴，，，
∴，
∴，
同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，
∴，
∴，
解得：或，
∴，
综上：或.
【点睛】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与图形面积，二次函数与角度问题，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键.
一、解答题
1．如图，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线上是否存在点P，使．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）结合已知求得，代入即可解答；
（2）由，推出是的平分线，设交x轴于E，过E作于H，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，求得直线的解析式为，解方程组即可得到结论．
【详解】（1）解：，
，，
∴代入，得：，
，
抛物线解析式为：；
（2）存在，理由：，
是的平分线，
设交x轴于E，过E作于H，
，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
∴设直线的解析式为
∴，解得
直线的解析式为，
令，
解得或(不合题意舍去)，
，
．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形等，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
2．如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点的坐标为时，求四边形的面积；
(3)若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)16
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作于T，根据列式求解即可；
（3）取，连接，，证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或．
【详解】（1）解：将点代入，
得
解得
∴抛物线解析式为；
（2）解∶如图所示，过点P作于T，
∵，，，
∴ ，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，取，连接，，
∵、，，
∴，，，
∴，
∴线段与抛物线的交点即为所求；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
如图所示，取，连接，，
同理可得，
∴直线与抛物线的交点即为所求；
同理可知直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
综上所述，符合题意的点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等知识，解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解．
3．已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求的长；
(2)点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标；
(3)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点的横坐标为4或2
(3)
【分析】该题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．还考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，一次函数的图象和性质．
（1）求出抛物线的表达式，得到，即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）证明，则，得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
，
，
令，则，
，
，
．
（2）解：当时，，
，
，
，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
则，
则直线，
过点作轴交于，

设，则，
，
，
∴点的横坐标为4或2；
（3）解：设直线与轴交于点，

则，
，
∴，
，
，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，
．
4．如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标；
(3)将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到，点是原抛物线的顶点，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)；
(2)4，；
(3)或．
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的平移、运用二次函数求最值、二次函数与几何综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先说明，如图：作轴交于点Q，结合已知条件可得，进而得到，即，设点．可得，根据二次函数的性质可得当时，的最大值为4，最后确定点P的坐标即可；
（3）先求出原抛物线的顶点坐标，平移后的解析式为，然后分点M在直线的下方和上方两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图：作轴交于点Q，
∵，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
设点．
∴，
∴，
∴当时，的最大值为4，
∴当的最大值时，，
∴．
（3）解：如图：
∵，
∴抛物线的对称轴为，顶点坐标，
∴将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到的解析式为，
当点在直线的下方时，点为直线的延长线与新抛物线的交点，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立，解得：或2（舍弃），
∴，
∴；
当点在直线的上方时，作点N关于点C的对称点，则，点为直线的延长线与新抛物线的交点，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立，解得：或（舍弃），
∴，
∴．
综上，点M的坐标为或．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积最大值及此时点的坐标；
(3)将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的负半轴交于点，点为平移后的新抛物线上一动点，当，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、一次函数和二次函数的图象交点等知识．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点P作轴交于点E，求出直线的解析式为，得到，，则，当时，取得最大值，得到取得最大值，此时，即可得到答案；
（3）求出，再求出点的坐标为，当时，，进一步求出直线的解析式为，联立直线和平移后的抛物线解析式得到或，则点的坐标是，当时，，则直线经过点的关于轴对称点，求出直线的解析式为，联立直线和平移后的抛物线解析式得到或，即可得到点的坐标是．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，交轴于点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，过点P作轴交于点E，

当时，，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
，
，则，
∵，且 ，
当时，取得最大值，
取得最大值，
此时，
此时；
（3）∵，
∴将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，则：
，
当时，，解得或，
∴点的坐标为，
如图，当时，，

∵直线的解析式为，
∴可设直线的解析式为，
把点代入得到，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得到，
解得或，
∴点的坐标是，
当时，，
∴直线与直线关于轴对称，
∴直线经过点的关于轴对称点，
设直线的解析式为，
把点的坐标为，点代入，得
解得，
∴直线的解析式为，
联立得到，
解得，或，
∴点的坐标是，
综上可知，点的坐标为或．
6．已知抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图．
①求的面积；
②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，求抛物线与坐标轴的交点，角度问题；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①分别令求得的坐标，根据三角形的面积公式，即可求解；
②先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和．
∴
解得：
∴抛物线解析式为
（2）解：①在中，当时，，则有，
令，则有，
解得：，
∴，则
∴
②∵点在抛物线上
∴
∴点坐标
设所在直线解析式为，其过点、
有，
解得
∴所在直线的解析式为：
当点在线段上时，设
而
∴
∴
，，
∴
解得：，
所以点的坐标为:
7．如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与交于E，F两点，求的最大值并求出此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿着射线的方向平移个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)二次函数的表达式为
(2)，此时点P的坐标为
(3)点M的坐标为或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出的坐标，设，将转化为二次函数求最值即可；
（3）求出平移后的解析式，进而求出平移后的对称轴，分点在的上方和下方两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过，对称轴为直线，
∴，解得：，
∴；
（2）∵点关于直线对称，，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
设，
∵轴，轴，
∴，轴，，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，有最大值为，此时；
（3）∵，由（2）知：为等腰直角三角形，
∴将抛物线沿着射线的方向平移个单位，即向右，向上各平移1个单位，
∴新的抛物线的解析式为：，
∴新的抛物线的对称轴为直线，
延长交轴于点，
∵，，
∴①当点在直线上方时，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴同（2）法可得：直线的解析式为：，
∴当时，，即：；
②当点在直线下方时，，则：，
∴，
∴
同理：直线的解析式为：，
∴当时，，即：；
综上：或．中小学教育资源及组卷应用平台
【培优专题】 二次函数中的角度存在性问题的四类综合题型
类型一、二次函数中的等角存在性问题
知识点：1. 二次函数图像性质，如对称轴、顶点坐标、单调性，用于确定点的位置关系；2. 等角的几何判定，包括等腰三角形性质（等边对等角）、平行线性质（同位角/内错角相等）、全等/相似三角形对应角相等。 解题技巧：1. 构造辅助线，如作对称点、平行线或垂线，转化等角为已知角或易求角；2. 代数化处理，设点坐标，利用三角函数（正切值相等）或斜率表示角的关系，列方程求解。
例1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，将沿着翻折，使点落在点处．

(1)求二次函数的表达式及点的坐标．
(2)求直线的表达式．
(3)为抛物线上一点，连接，当时，请直接写出点的坐标．
【变式1-1】如图所示，已知抛物线，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点D，且满足，顶点为C．
(1)求m的值；
(2)①求抛物线顶点C的坐标；
②若将该抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式；
(3)已知点P为异于点A的该抛物线上的一个点，并且，求点P的坐标．
【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点．交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点是直线上方抛物线上一动点．连接，．求面积最大值及此时点的坐标；
(3)将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的负半轴交于点．点为平移后的新抛物线上一动点，当．请直接写出所有符合条件的点的坐标．
类型二、二次函数中的倍角存在性问题
知识点：1. 三角函数倍角公式（如tan2α=2tanα/(1-tan α)），通过角的正切值关系转化代数等式；2. 几何构造中倍角与等腰三角形关系（如外角等于不相邻内角2倍）。 解题技巧：1. 代数法：设点坐标表示角的正切值，代入倍角公式列方程求解；2. 几何法：构造含倍角的等腰三角形，利用对称性或全等转化角的关系，结合函数图像找点。
例2．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标．
【变式2-1】如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设四边形的面积为，求的最大值；
(3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标．
【变式2-2】如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为．
(1)求抛物线M的表达式和点A的坐标；
(2)点F是线段上一动点，求周长的最小值；
(3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标．
类型三、二次函数中的特殊角存在性问题
知识点：1. 特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值（如tan45°=1、sin30°=0.5），用于建立线段比例关系；2. 二次函数与坐标几何结合，如两点间距离公式、直线斜率与倾斜角关系。 解题技巧：1. 几何构造：过动点作坐标轴垂线，构造含特殊角的直角三角形，利用边角比表示坐标关系；2. 代数转化：设点坐标，用斜率或距离公式表示角的三角函数值，结合函数解析式列方程求解。
例3．已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点．
(1)求点、点的坐标及抛物线的解析式；
(2)求的面积；
(3)若点是轴上一点．且．求点坐标．
【变式3-1】如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．
(1)求m的值和直线对应的函数表达式；
(2)P点是对称轴上的一点，当的值最小时，求点P的坐标；
(3)Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标．
【变式3-2】如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是抛物线的顶点，求出的面积；
(3)如图2．连接，点P是抛物线上的一动点，且满足，请直接写出点P坐标．
一、解答题
1．如图，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线上是否存在点P，使．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点的坐标为时，求四边形的面积；
(3)若，求点的坐标．
3．已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求的长；
(2)点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标；
(3)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标．
4．如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标；
(3)将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到，点是原抛物线的顶点，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积最大值及此时点的坐标；
(3)将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的负半轴交于点，点为平移后的新抛物线上一动点，当，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
6．已知抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图．
①求的面积；
②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标．
7．如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与交于E，F两点，求的最大值并求出此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿着射线的方向平移个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标．

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