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2024-2025 学年江苏省西安交大苏州附中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，计算正确的是( )
A. 2 + 4 = 6 B. 3 3 = 2 3
C. ( 3)2 = 6 D. ( 2 )3 = 6 3 3
2.下列计算正确的是( )
A. ( + )2 = 2 + 2 B. ( )2 = 2 2 2
C. ( + )2 = 2 2 + 2 D. ( + 2 )( 2 ) = 2 2 2
3.下列式子是完全平方式的是( )
A. 2 + 2 2 B. 2 + 2 + 1 C. 2 + + 2 D. 2 + 2 1
4.若 ， 是正整数，且满足3 + 3 + 3 = 3 × 3 × 3 ，则下列 与 的关系正确的是( )
A. = B. + 1 = 3 C. + 1 = 3 D. 3 = 3
5.如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好标本遮盖的数学作业本的一个正 边形
一部分.若直线 、 所夹锐角为 36°，则 的值是( )
A. 9 B. 8
C. 5 D. 4
6.如图，∠ 是一个任意角，在边 ， 上分别取 = ，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与 ，
重合，过角尺顶点 的射线 便是∠ 的平分线 .以上作图原理主要是通过( )判定三角形全等．
A.
B.
C.
D.
7.已知多项式 与 2 + 2 1 的乘积中不含 2项，则常数 的值是( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
8.如图， 是△ 的中线， 、 分别是 和 延长线上的点，且 = ，
连接 、 ，下列说法：① = ；②△ 和△ 的面积相等；③ // ；
④△ ≌△ ，其中正确的有( )
A. 1 个 B. 2 个
C. 3 个 D. 4 个
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二、填空题：本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分。
9 2.计算：( 23 )
3 = ______．
10.“墙角数枝梅，凌寒独自开”是我们耳熟能详的诗句.已知某种梅花的花粉直径约为 0.000029 ，将数据
0.000029 用科学记数法表示为______．
11.已知 + = 5， = 3，则( )2的值为______．
12.对于命题“如果 = ，那么 = .”，它的逆命题是___命题. (填“真”或“假”)
13.如图，在△ 中， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ， ， 交于点 ，
△ ≌△ ，若 = 4， = 2，则△ 的面积为 ．
14.如图所示，将两个正方形并列放置，其中 ， ， 三点在一条直线上， ， ， 三点
在一条直线上，已知 三角形 = 10， = 10，则阴影部分的面积和是______．
15.如图，由 9 个完全相同的小正方形拼接而成的 3 × 3 网格，图形 中各个
顶点均为格点，设∠ = ，∠ = ，∠ = ，则 的值______．
16.如图，△ 的两条高 与 交于点 ， = ， = 7. 是射线 上一点，且
= ，动点 从点 出发，沿线段 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 运动，同
时动点 从点 出发，沿射线 以每秒 3 个单位长度的速度运动，当点 到达点 时， ，
两点同时停止运动，设运动时间为 秒，当△ 与△ 全等时，则 = ____秒.
三、解答题：本题共 10 小题，共 68 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 8 分)
计算：
(1)( 3 )2 4 ( 3)3 ÷ 3；
(2)(2 + 3 )2(3 2 )2．
18.(本小题 6 分)
先化简，再求值：( )2 2 ( 3 ) + ( )( )，其中 = 1， = 1．
19.(本小题 6 分)
如图，每个小正方形的边长为 1 个单位，每个小方格的顶点叫格点．
(1)画出△ 的 边上的高线 ；
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(2)求出△ 的面积为______；
(3)图中，能使 △ = 3 的格点 ，共有______个．
20.(本小题 6 分)
已知9 = ，27 = ，求：
(1)32 +3 的值；
(2)34 6 的值．
21.(本小题 4 分)
如图，已知∠1 + ∠2 = 180°，∠3 = ∠ ，则∠ = ∠4，请说明理由．
解∵ ∠1 + ∠ = 180°，
又∵ ∠1 + ∠2 = 180°(已知)，
∴ ∠2 = ∠ (______)，
∴ // (______)，
∴ ∠3 = ∠ ______．
∵ ∠3 = ∠ (已知)，
∴ ∠ = ∠ ______，
∴ // (______)，
∴ ∠ = ∠4(______).
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22.(本小题 6 分)
如图，在四边形 中， // ，点 ， 在 上，且 = ，连接 ， ，且 // ．
(1)试说明△ ≌△ ；
(2)连接 ， ，试判断 与 有怎样的数量关系，并说明理由．
23.(本小题 8 分)
观察下列图形及图形所对应的等式，探究图形阴影部分的面积变化与对应等式的规律，并解答下列问题：
22 12 = 2 × 1 + 1 × 1；32 22 = 3 × 1 + 2 × 1；42 32 = 4 × 1 + 3 × 1；52 42 = ______．
(1)补全第四个等式，并直接写出第 个图对应的等式；
(2)若 是正整数，且( + 2)2 2025 = ( + 1)2，求 的值．
24.(本小题 6 分)
小亮学习多项式研究了多项式值为 0 的问题，发现当 + = 0 或 + = 0 时，多项式 = ( +
)( + ) = 2 + ( + ) + 的值为 0，把此时 的值称为多项式 的零点．
(1)已知多项式(3 1)( + 2)，则此多项式的零点为______；
(2) 5小亮继续研究( 4)( 2)， ( 6)及( 2 )(
7
2 )等，发现在数轴上表示这些多项式零点的两个点
关于表示 3 的点对称，他把这些多项式称为“3 系多项式”.若多项式 = (2 )( 7 ) = 2
(8 4 ) + 5 4 是“3 系多项式”，求 ， ， 的值．
25.(本小题 8 分)
【知识生成】(1)通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
如图 1，有四张长为 、宽为 的长方形纸片按如图方式拼成了一个正方形，请你通过拼图写出( + )2、 、
( )2之间的等量关系是______．
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【知识应用】(2)若 2 = 5， = 2，求(2 + )2的值；
【知识迁移】(3)如图 2，为创办文明校园，美化校园环境，某校计划要在面积为 165 2的长方形空地
( > )中划出长方形 和长方形 ，两个长方形重合部分刚好建一个长为 3 ，宽为 2
的喷泉水池 ，现将图中阴影部分区域作为花圃，且花圃总周长为 42 ，则 的长度为多少米？
26.(本小题 10 分)
(1)如图 1，四边形 是边长为 5 的正方形， ， 分别在 ， 边上，∠ = 45°.为了求出△
的周长.小南同学的探究方法是：
如图 2，延长 到 ，使 = ，连接 ，先证△ ≌△ ，再证△ ≌△ ，得 = ，
从而得到△ 的周长= ______ ；
(2)如图 3，在四边形 中， = ，∠ = 100°，∠ = ∠ = 90°. ， 分别是线段 ， 上的
点.且∠ = 50°.探究图中线段 ， ， 之间的数量关系；
(3)如图 4，若在四边形 中， = ，∠ + ∠ = 180°， ， 分别是线段 ， 上的点，且 2∠ =
∠ ，(2)中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
(4)若在四边形 中， = ，∠ + ∠ = 180°，点 、 分别在 、 的延长线上，且 2∠ = ∠ ，
请画出图形，并直接写出线段 、 、 之间的数量关系．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. 8 3 627
10.2.9 × 10 5
11.13
12.假
13.12
14.30
15.45°
16.7 74或2
17.(1)原式= 9 2 4 + 9 ÷ 3
= 9 6 + 6
= 10 6；
(2)原式= [(2 + 3 )(3 2 )]2
= (9 2 4 2)2
= 81 4 72 2 2 + 16 4．
18.解：( )2 2 ( 3 ) + ( )( )
= 2 2 + 2 2 2 + 6 2 + 2 2
= 2 2 + 6 ，
∵ = 1， = 1，
∴原式= 2 2 + 6 = 2 × ( 1)2 + 6 × ( 1) × 1 = 8．
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19.解：(1)如图线段 即为所求．
(2) 5.5．
(3)7．
20.解：(1)32 +3
= (32) (33)
= 9 27
= ；
(2)34 6
= (32)2 ÷ (33)2
= 92 ÷ 272
2= 2．
21.解∵ ∠1 + ∠ = 180°，
又∵ ∠1 + ∠2 = 180°(已知)，
∴ ∠2 = ∠ (同角的补角相等)，
∴ // (内错角相等，两直线平行)，
∴ ∠3 = ∠ ，
∵ ∠3 = ∠ (已知)，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ // (同位角相等，两直线平行)，
∴ ∠ = ∠4(两直线平行，同位角相等)．
22.(1)证明：∵ // ，
∴ ∠ = ∠ ．
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∵ // ，
∴ ∠ = ∠ ．
在△ 和△ 中，
∠ = ∠ ,
= ,
∠ = ∠ ,
∴△ ≌△ ( )；
(2)解： = ，理由如下：
∵△ ≌△ ，
∴ = ．
∵ = ，
∴ = ，
即 = ．
在△ 和△ 中，
= ,
∠ = ∠ ，
= ,
∴△ ≌△ ( )．
∴ = ．
23.(1)第四个等式为52 42 = 5 × 1 + 4 × 1，
第 个图对应的等式为( + 1)2 2 = ( + 1) × 1 + × 1，
故答案为：5 × 1 + 4 × 1；
(2)由( + 2)2 2025 = ( + 1)2，可得( + 2)2 ( + 1)2 = 2025，
由(1)可得， + 2 + + 1 = 2025，
解得 = 1011．
24.(1)根据多项式零点的概念可得，3 1 = 0 或 + 2 = 0，
1
解得： = 3或 = 2，
∴ 1此多项式的零点为3或 2；
(2) ∵ = (2 )( 7 ) = 0，

解得： = 2或 = 7，
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∴ 的两个零点分别是2或 7，

根据 3 系多项式的定义，可得2 + 7 = 6，解得： = 2，
把 = 2 代入 得(2 + 2)( 7 ) = 2 2 12 14 ，
∵ = 2 (8 4 ) + 5 4，
∴ = 2 ，5 4 = 14 ，
∴ = 1， = 2，
∴ ， ， 的值分别是 2， 2，1．
25.解：(1)( + )2，( )2、 之间的等量关系是：( + )2 = ( )2 + 4 .理由如下：
由图 1 可知 4 个小长方形的面积和为：4 ，
由图 1 可知：大正方形的面积为：( + )2，中间小正方形的面积为：( )2，
∵大正方形的面积=中间小正方形的面积+4 个长方形的面积和，
∴ ( + )2 = ( )2 + 4 ．
故答案为：( + )2 = ( )2 + 4 ；
(2) ∵ 2 = 5， = 2，
由(1)可得，
(2 + )2 = (2 )2 + 8 ，
∴ (2 + )2 = 52 + 8 × 2，
解得(2 + )2 = 41；
(3)设 = ， = ，
根据题意得， = 165， = = 2， = = 3，
∴ + + + = 2( 2) = 2 4， + + + = 2( 3) = 2 6，
∵花圃总周长为 42 ，
∴ 2 4 + 2 6 = 42，
∴ + = 26，
由(1)可得，
( + )2 = ( )2 + 4 ，
∴ 262 = ( )2 + 4 × 165，
∴ ( )2 = 16，
解得 = 4 或 = 4，
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∵ > ，
∴ = 4，
∴ = 4．
26.(1)10；
(2) = + ．
证明：如图 2 所示，延长 到点 .使 = .连接 ，
在△ 和△ 中，
=
∠ = ∠ = 90°，
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，∠ = ∠ ，
∵ ∠ = 100°，∠ = 50°，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 50°，
∴ ∠ = ∠ = 50°，
在△ 和△ 中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = = + ，
∴ = + ；
(3)成立．
证明：如图 3，延长 到 ，使 = ，连接 ．
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∵ ∠ + ∠ = 180°，∠ + ∠ = 180°，
∴ ∠ = ∠ ，
∵在△ 与△ 中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，∠ = ∠ ，
∵ 2∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 12∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
又 = ，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
∵ = + ，
∴ = + ；
(4) = ，
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