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2025年沙雷金几何奥林匹克决赛试题
九年级
1.△ABC的高AA1、BB1交于点H(垂心).设A'、B分别是A、B关于
BB1、AA1的对称点.证明：△A'BC与△A'BH的九点圆相切.
2.平面上有若干标记点，被染成4种颜色，使得任何经过三个不同颜色标记点
的圆上，恰好还有一个第四种颜色的标记点.是否所有标记点一定共圆？
3.已知△ABC,直线m1分别与BC、CA、AB交于点A1、B1、C1,直线
m2分别与BC、CA、AB交于点A2、B2、C2,且A1与A2关于BC的中点
对称，B1与B2关于CA的中点对称，C1与C2关于AB的中点对称.证明：
m1⊥m2当且仅当m1、m2是△ABC的两条西姆松线（对应其外接圆上的某
两点)
4.设ABCD是圆内接四边形.过△ABC的垂心H且分别平行于BD、CD
的两条直线，分别与AC、AB交于点E、F.证明：线段EF平分线段DH.
5.设BE、CF是△ABC的高.∠B、∠C的内角平分线交于点I(内心)，外
角平分线交于点J.证明：IJ>EF.
6.△ABC内接于圆w,圆w在点B、C处的切线交于点S.线段AS与BC
交于点P.∠APC、∠SPC的角平分线（射线）分别与w交于点X、Y.证明：
X、Y、S共线
7.已知△ABC,点D是BC的垂直平分线上任意一点，且在三角形外部.直
线BD与AC交于点C,直线CD与AB交于点B.设Ma是BC的中点，
M是⊙BB'D与⊙CCD的另一个交点（异于D).证明：△DMMa的外心在
一条定直线上·
8.已知双心四边形ABCD的内心I、其外接圆在A、C处切线的交点E,以
及外接圆在B、D处切线的交点F,还原该四边形.

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