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2025年沙雷金几何奥林匹克决赛试题
八年级
1.已知圆内接五边形ABCDE,对角线AC=CE,且分别与BD交于点M、
N.已知BM=ND,BC≠CD.证明：C关于BD中点的对称点在AE上·
2.设CH是△ABC的高，CA'、CB分别是△CBH、△CAH的角平分线
证明：△CA'B的外心与△ABC的内心重合当且仅当∠ACB=90°.
3.能否在平面上选取超过6个不共线的点，将它们染成3种颜色，使得任何
一条经过两个不同颜色标记点的直线上，恰好还有一个第三种颜色的标记点？
4.设AA1、CC1是△ABC的角平分线，B是△ABC外接圆上不包含B的
弧AC的中点.△AA1B0与△CC1B0的外接圆分别与直线BC、AB交于点
P、Q.证明：△ABC的内心在PQ上·
5.在直角三角形中，直角顶点到其一锐角角平分线的距离等于斜边的四分之
一.求该三角形所有可能的内角大小，
6.设ABCD是凸四边形，且∠ABD=∠ACD=90°.以AB、CD为直径
的两圆交于点P、Q.证明：2PQ7.正三角形ABC内接于圆2.以A、B、C为圆心的圆2A、2B、2c均经
过2上一点P,且这三个圆有一条公切线.证明：存在一条直线，它与其中两
个圆相切且经过△ABC的某个顶点·
8.已知纸质五边形ABCDE,满足AB=AE,∠A=∠B=∠E=90°，
BC=3,CD=5,DE=2.仅用直尺，在五边形内部画不超过6条直线，作
出过A且垂直于CD的直线

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