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山东省泰安市东平县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．在下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．1或
5．如图，在矩形中，的平分线交的延长线于点，若，，则的长为（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
6．如果，那么下面各式：其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形，其中对应点C和F的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0．5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0．2米，一级台阶高为0．3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4．4米，则树高为（ ）
A．9．5米 B．10．75米 C．11．8米 D．9．8米
9．新年来临之际，某班同学向班上其他同学互赠新年贺卡，全班共互赠贺卡2980张，设全班有x名学生，那么根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，下列结论：
①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，在菱形中，点E，F分别是边的中点，若，则长为 ．
12．式子有意义，则点在第 象限．
13．点C是线段的黄金分割点，且，则的长为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点G，作射线AG，交DC于点H．若AD＝6，AB＝8，则△AHC的面积为 ．
15．如图，学校为了照明，在墙上方安装一个小型灯杆（点为灯泡的位置，、、三点在一直线上），当小明站在处时，他在地面上的影长，小亮站在处时，他在地面上的影长．小亮和小明之间的距离，已知小明的身高为．小亮的身高为，灯杆的高为，则墙的高为 ．
三、解答题
16．计算
(1)；
(2)；
(3)．
17．解下列方程：
(1)；
(2)．
18．对一张矩形纸片进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使与重合，得到折痕，展开；
第二步：再一次折叠，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕，同时，得到线段，，展开，如图①；
第三步：再沿所在的直线折叠，点B落在上的点处，得到折痕，同时得到线段，展开，如图②．
求证：四边形为菱形．
19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值及方程的根．
20．如图，矩形的边长为的中点，在边上，分别与相交于点
求证:
若， 求的长
21．阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：﹣＝＝．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝，＝．
因为+＞，所以，﹣＜．
再例如，求y＝﹣的最大值、做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝．
当x＝2时，分母﹣有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下述两题：
（1）比较﹣和﹣的大小；
（2）求y＝﹣+3的最大值．
22．研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克．
任务一：建立函数模型
（1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
任务二：探究销售情况
（2）市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克21元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请说明理由．
任务三：设计销售方案
（3）在（2）的基础上，蔬菜的销售单价定为多少元才能使日销售利润最大？最大利润为多少元？
23．某校数学活动小组探究了如下数学问题：

(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长．
参考答案
1．C
解析：：A、是三次根式；故本选项错误；
B、被开方数-10＜0，不是二次根式；故本选项错误；
C、被开方数a2+1≥0，符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、被开方数a＜0时，不是二次根式；故本选项错误；
故选C．
2．B
【详解】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，
∴A、C坐标关于原点对称，
∴C的坐标为，
故选B．
3．A
【详解】A. ∵，∴，∴，正确；
B. ∵，∴，∴ ，故不正确；
C. ∵，∴，故不正确；
D. ∵，∴，∴ ，故不正确；
故选A.
4．A
解：将代入方程，得，
解得，即，
∵二次项系数，即，
∴，
故选：A．
5．B
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CDAB，
∴∠CDE＝∠E．
又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，
∴∠CDE＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠E．
∴BE＝BD．
∵AE＝9，
∴BD＝BE＝9 AB．
∵DB2＝AD2＋AB2，
∴（9 AB）2＝9＋AB2，
∴AB＝4，
故选：B．
6．D
解：∵a+b＜0，ab＞0，
∴a，b同为负数，
∴无意义，故①错误；
，故②正确；
，故③正确；
故选：D．
7．B
【详解】由题意可知，点P为位似中心，
，，，，
矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形
即
故位似中心P的坐标为．
故选B．
8．A
【详解】如图，设树高为xm，则第一级台阶上的树高为（x-0．3）m，根据同一时刻物高与物影成正比可得，解得x=9．5m，故答案选A．
9．C
解：由题意可得，
，
故选C．
10．C
解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵为中点，，
∴，
又∵，
∴，结论①正确；
∴，
∵，
∴，
∴，即，故结论③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，结论④正确；
∵，，
∴，
∴和不相似，结论⑤不正确．
∵，，和不相似，，
∴，，，
∴，
∴，故②错误，
综上可知正确的结论为：①③④，共计3个．
故选：C．
11．4
解：∵点E，F分别是边的中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
故答案为：4．
12．三
【详解】由题意得：－x≥0，且xy>0
由－x≥0得：x≤0
但当x=0时，xy=0，不合题意
所以x<0
当x<0时，由xy>0得y<0
所以x<0，且y<0
则点P在第三象限
故答案为：三．
13．或
解：∵点C是线段的黄金分割点，
∴或，
∴或；
当时，；
故答案为：或．
14．15
解：由作图过程可知：AH平分∠DAC，
如图，过点H作HQ⊥AC于点Q，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴DH＝QH，
∵AD＝6，DC＝AB＝8，
∴AC10，
∴HC＝DC﹣DH＝8﹣HQ，
在Rt△ADH和Rt△AQH中，
，
∴Rt△ADH≌Rt△AQH（HL），
∴AD＝AQ＝6，
∴CQ＝AC﹣AQ＝10﹣6＝4，
在Rt△CHQ中，根据勾股定理得：
CH2＝CQ2+HQ2，
∴（8﹣HQ）2＝42+HQ2，
解得HQ＝3，
∴△AHC的面积AC HQ10×3＝15，
故答案为：15．
15．
解：设墙高为，则，
，
，
，
，
，
，，
，
整理得：，
，
，
，，，
，
整理得：，
，
解得：，
，
答：墙的高为．
故答案为：．
16．(1)
(2)
(3)0
（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式．
17．(1)；
(2)，．
（1）解：，
分解因式可得：，
解得：；
（2）解：，
分解因式可得：，
或，
解得：，．
18．见解析
解：∵对折与重合，折痕是，
∴点M是的中点，
∴是的中点，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵沿所在的直线折叠，点B落在上的点处，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形为菱形．
19．（1）；（2），
(1)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△>0，
即，
整理得，，
解得：，
故实数的取值范围为；
(2)∵方程的两个根分别为，
∴，
解得：，
∴原方程为，
∴，．
20．（1）见解析；（2）
(1) ∵AD∥BF，
∴∠ADN=∠FBN，
又∵∠AND=∠FNB，
∴，
∴，
∴；
(2)过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2，
∵BF=2FC，BC=AD=3，
∴BF=AH=2，FC=HD=1，
∴AF=，
∵OH∥AE，
∴，
∴OH=AE=，
∴OF=FH-OH=2-=，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴，
∴AM=AF=，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴，
∴AN=AF=，
∴MN=AN-AM=．
21．（1）＜；（2）+3
解：（1），
，
而，
∴＞，
∴＜；
（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，
∴x≥1，
∵y＝＝，
当x＝1时，分母有最小值，
∴y＝有最大值是+3．
22．（1）；（2）当蔬菜的销售单价定为18元时，日销售利润为8600元；（3）该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元
解：（1）日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系，
设，销售单价为12元时，日销售量为1800千克，销售单价为15元时，日销售量为1500千克，
∴，
解得，，
根据题意，销售单价不应低于成本10元，且日销售量不应为负数，即，
解得，
∴；
（2）能；
由题意，得：，，
∴，
解得：，
∵，
∴；
∴当蔬菜的销售单价定为18元时，日销售利润为8600元；
（3）设总利润为，由题意，得：
，
∵，
∴当时，有最大值，
∴该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元．
23．(1)
(2)
(3)3
（1）解：∵是等腰直角三角形，，
在中，，，
∴，，
∴．
在和中， ，
∴，
∴；
（2）解：判断，理由如下：
∵是等腰直角三角形，中，，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接BD，如图所示，

∵四边形与四边形是正方形，DE与PF交于点Q，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，，设，则，
又∵正方形的边长为，
∴，
∴，
解得（舍去），．
∴正方形的边长为3．

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