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人教A版2025-2026学年选修一第三章 圆锥曲线的方程 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
2．已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
3．已知点为抛物线上一点．则点到抛物线的焦点的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知点在抛物线上，点为圆上任意一点，且的最小值为3，则，圆的半径为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．设抛物线的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若，则|AF|= （　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线经过，且与C交于A，B两点，若，，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
7．设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（　　）
A． B． C． D．
8．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（　　）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（　　）
A．椭圆的离心率为 B．的周长为12
C．的最小值为3 D．的最大值为16
10．双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（　　）
A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为
B．双曲线C的离心率为
C．直线与的斜率之积为
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
11．已知抛物线的焦点为，准线为与轴的交点为，过的直线与分别交于两点，则以下选项正确的是（　　）
A．坐标为
B．当时，
C．若，则
D．过点作与垂直的直线与交于两点，则四边形面积的最小值为32
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是　 　.
13． 已知分别是双曲线的左 右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则　 　.
14．如图所示，斜率为的直线交椭圆于M、N两点，交轴、轴分别于Q、P两点，且，则椭圆的离心率为　 　．
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知抛物线，过抛物线上点且斜率为的直线与抛物线仅有一个交点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求的值．
16．已知椭圆的离心率为长轴长为4。
（1）求C的方程；
（2）过点(0，-2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为求|AB|。
17．已知直线与抛物线交于两点，且．
（1）求；
（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
18．已知双曲线的实轴长为，离心率为.
（1）求双曲线的标准方程：
（2）过点的直线与的左、右两支分别交于，两点，点，直线与直线交于点.
（i）证明：直线的斜率为定值；
（ii）记，分别为，的面积，求的取值范围.
19．设椭圆的离心率为，椭圆下顶点为A，右顶点为B，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足.
（i）设P（m，n），求点R的坐标（用m，n表示）；
（ii）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值.
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人教A版2025-2026学年选修一第三章 圆锥曲线的方程 单元培优卷
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，则的离心率为.
故答案为：B.
2．已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，，解得或.
所以实数的取值范围是.
故选：D.
3．已知点为抛物线上一点．则点到抛物线的焦点的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可知，，解得，所以点到抛物线的焦点的距离为，
故选：B.
4．已知点在抛物线上，点为圆上任意一点，且的最小值为3，则，圆的半径为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】根据题意，得，
解得，即，
因为圆心恰好为抛物线的焦点，
则，
又因为，
所以点在圆的外部，
所以的最小值为，
解得.
故答案为：A.
5．设抛物线的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若，则|AF|= （　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】易知抛物线的焦点为，准线方程为，
若，则直线与的交点坐标为，即，解得，
则抛物线，，易知，
则.
故答案为：C.
6．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线经过，且与C交于A，B两点，若，，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，，可得，，
且A，B都在双曲线的右支上，如图所示：
设，则，，，
在中，，解得，
则，，
在中，，
即，解得，
则双曲线C的离心率为.
故答案为：A.
7．设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，，，
设点位于第一象限，设，，则①，且.
因为，所以，所以②.
由①②解得：，.
因为平分，由角平分线定理可得，故，
所以，即，
故，所以.
故答案为：B.
8．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为抛物线的方程为，所以，
设，其中如图所示：
则，所以，则，
所以，
所以，
则直线的倾斜角，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，
联立，消去得，
，
设，
则，
所以.
故选：A.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（　　）
A．椭圆的离心率为 B．的周长为12
C．的最小值为3 D．的最大值为16
【答案】B,D
【解析】易知，
A、，故A错误；
B、的周长为，故B正确；
C、的最小值为，故C错误；
D、，当且仅当时等号成立，故D正确．
故答案为：BD．
10．双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（　　）
A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为
B．双曲线C的离心率为
C．直线与的斜率之积为
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
【答案】B,C,D
【解析】A，由已知可得双曲线C的焦点和顶点分别为，
从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为，故A选项错误；
B，双曲线C的离心率为，故B选项正确；
C，显然异于，不妨设，如图所示：
注意到都在双曲线上面，且，
所以直线与的斜率之积为，故C选项正确；
D，双曲线C：的一个焦点、一条渐近线可以分别是，，
而点到直线的距离是，故D选项正确.
故答案为：BCD.
11．已知抛物线的焦点为，准线为与轴的交点为，过的直线与分别交于两点，则以下选项正确的是（　　）
A．坐标为
B．当时，
C．若，则
D．过点作与垂直的直线与交于两点，则四边形面积的最小值为32
【答案】A,B,D
【解析】已知如图所示：
A、已知抛物线化成标准方程：，焦点坐标，故A正确；
B、设，
由题意知，直线斜率不为零，设直线，
，
可推出：，
，
所以，解得，
所以，故B正确；
C、，
因为，
所以，，故C错误；
D、设，设直线，同理推出，
，
当且仅当时等号成立，故D正确；
故答案为：ABD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是　 　.
【答案】
【解析】易知抛物线的焦点，准线方程为，
设所求点的坐标为，由题意可得，解得，
因为点在抛物线上，所以，解得，
则所求点的坐标为.
故答案为：.
13． 已知分别是双曲线的左 右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则　 　.
【答案】2
【解析】由题意，延长，交于点G，
因为MN是的角平分线，且，
所以，且为的中点，又因为点O为的中点，
所以，，
由双曲线的定义可知所以，.
故答案为：2.
14．如图所示，斜率为的直线交椭圆于M、N两点，交轴、轴分别于Q、P两点，且，则椭圆的离心率为　 　．
【答案】
【解析】设直线： ，则，，设，，
由 得，，
联立 得，，化简得，
离心率.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知抛物线，过抛物线上点且斜率为的直线与抛物线仅有一个交点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求的值．
【答案】（1）解：因为点在抛物线上，
所以，解得，
则抛物线方程为．
（2）解：根据题意，显然直线的斜率存在，设直线l的方程为，
联立，得，
若，方程只有一解，满足要求；
若，则需满足，解得，
综上所述：或.
16．已知椭圆的离心率为长轴长为4。
（1）求C的方程；
（2）过点(0，-2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为求|AB|。
【答案】（1）解：易知，即，
因为椭圆的离心率为，所以，解得，则，
则椭圆 ；
（2）解：由题意可知：直线的斜率存在，设直线方程为，，即，
联立，消元整理可得 ，
由韦达定理可得：，
则，
即，解得 ，
则 .
17．已知直线与抛物线交于两点，且．
（1）求；
（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
【答案】（1）解：设，
联立直线方程和抛物线方程，消去可得，，
根据韦达定理可得，
则，
即，因为，解得：．
（2）解：因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
联立方程可得，，所以，，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积．
18．已知双曲线的实轴长为，离心率为.
（1）求双曲线的标准方程：
（2）过点的直线与的左、右两支分别交于，两点，点，直线与直线交于点.
（i）证明：直线的斜率为定值；
（ii）记，分别为，的面积，求的取值范围.
【答案】（1）解：设焦距为，因为实轴长为，离心率为，
所以，
所以，
故双曲线的标准方程为.
（2）（i）证明：当直线斜率为0时，，
直线的方程为，
令，可得，
此时的斜率为.
当直线斜率不为0时，设直线，
联立，可得，
因为直线与双曲线的左右两支交于两点，
所以，，
设，
则，
且，
解得，
则直线的方程为，
令，可得，
所以直线的斜率为，
化简可得，
由，
可得，
所以，
综上可得，直线的斜率为定值.
（ii）解：当直线斜率为0时，，
因为两个三角形相似，.
当直线斜率不为0时，此时，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以，
则或（舍），
所以；
综上可得，.
19．设椭圆的离心率为，椭圆下顶点为A，右顶点为B，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足.
（i）设P（m，n），求点R的坐标（用m，n表示）；
（ii）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值.
【答案】（1）解：由题意可得：，即，解得，，
则椭圆的方程：；
（2）(i)、解：令，，由，
可得，
则，即，
设，，
解得，，
则；
(ii)、因为，，
所以，整理可得，即，
即，即在以为圆心，为半径的圆上，
则为到圆心的距离+半径，
设，，
则，
令，，
当时，.
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