资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
人教A版2025-2026学年选修二第四章数列 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．数列…的一个通项公式是
A． B． C． D．
2．已知为正项等比数列的前项和，，，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．已知单调递减的等比数列满足，则（　　）
A． B． C．512 D．1024
4．设为等差数列的前项和.已知，，则（　　）
A．为递减数列 B．
C．有最大值 D．
5．在数列中，若，，则（　　）
A． B． C．1 D．4
6．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知数列的各项均为正数，记数列的前项和，且满足，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（　　）
A．若数列前项和满足，则
B．在等差数列中，满足，则其前项和中最大
C．在等差数列中，满足，则数列的前9项和为定值
D．若等差数列中，，则使的最大的为15
10．设正项等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，则下列选项正确的是（　　）
A．
B．若，则
C．若，则当取得最小值时，
D．若，则
11．大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙.譬如松果、凤梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关.在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法来定义：，，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．已知等差数列的前项和为．且．则　 　．
13．已知数列的前项和为对任意都有，且，则的取值集合为　 　．
14．已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为　 　.
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
16．已知等比数列的各项都是正数，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前50项之和.
17．已知各项均为正数的数列的前项和为，，．
（1）若为等比数列，求和数列的前项和；
（2）若，求数列的通项公式．
18．已知数列的首项，的前项和为且满足.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和.
19．若数列满足：对任意的正整数，都存在正整数，使得成立，则称数列为“阶归化数列”.设为数列的前项和.
（1）若数列为“2阶归化数列”，且满足，证明：，且等号在时取到.
（2）若数列为“16阶归化数列”，且满足，求的所有可能取值.
（3）若正项数列为“阶归化数列”，且满足.证明：对于任意的，均有.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
人教A版2025-2026学年选修二第四章数列 单元培优卷
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．数列…的一个通项公式是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用特殊值法，将a1=1，代入A，B，C选项进行判断，可排除A、B、D，
故答案为：C.
2．已知为正项等比数列的前项和，，，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，且，
由，可得，则，即，
若，则，不合题意，故，
，解得，则.
故答案为：C.
3．已知单调递减的等比数列满足，则（　　）
A． B． C．512 D．1024
【答案】A
【解析】在等比数列中，，
所以，
因为，
解得，
设的公比为q，
则，解得，
因为单调递减，
所以．
故答案为：A.
4．设为等差数列的前项和.已知，，则（　　）
A．为递减数列 B．
C．有最大值 D．
【答案】B
【解析】为等差数列的前项和，
，解得；
又，设等差数列的公差为：
∴
为递增数列，A不符合题意.
，，B对.
由知，
由二次函数的性质可知，有最小值没有最大值.C不符合题意.
，D不符合题意.
故答案为：B.
5．在数列中，若，，则（　　）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【解析】在数列中，由，，得，，，
则数列是以3为周期的周期数列，故.
故答案为：A.
6．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】当时，；当时，.
仅知道，无法确定的大小，也就不能确定的正负.
例如数列为，，，但，所以选项错误.
当时，，则；当时，.
仅知道，无法确定的大小，也就不能确定的正负.
例如数列为，，，，
当时，，所以选项错误.
当时，，由可得，但不能得出；
当时，即，可得，同样无法得出.
例如数列为，，满足，但，所以选项错误.
已知，当时，，即；
当时，；
，由可得，那么，所以，即，选项正确.
故答案为：D.
7．设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】假设等比数列的公比，首项，
则数列的项依次为，
当时，满足，
但是不是递减数列，故充分性不满足；
若为递减数列，
则对于任意的，必然有，故必要性满足，
所以“存在，使得”是“为递减数列”的必要而不充分条件.
故答案为：B.
8．已知数列的各项均为正数，记数列的前项和，且满足，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，则有：
当时，，则，且，可得，故A错误；
当时，，整理得；
所以数列是以首项，公差的等差数列，
则，且，所以，故C错误；
当时，，
且上式对也成立，所以，
可知数列为递减数列，可得，故B正确；
因为，
所以
，
故D错误；
故选：B.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（　　）
A．若数列前项和满足，则
B．在等差数列中，满足，则其前项和中最大
C．在等差数列中，满足，则数列的前9项和为定值
D．若等差数列中，，则使的最大的为15
【答案】B,C,D
【解析】A、 若数列前项和满足①，
当时，，
当时，②，由①②可得，
经检验，不满足上式，则，故A错误；
B、数列为等差数列，满足，，
则，即，
因为，所以，则，，则数列的其前项和中最大，
故B正确；
C、等差数列中，满足，，
则数列的前9项和为定值，故C正确；
D、若，则，
即，又因为，所以，则数列前8项为正，从第9项开始为负，
因为，所以使的最大的为15，故D正确.
故答案为：BCD.
10．设正项等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，则下列选项正确的是（　　）
A．
B．若，则
C．若，则当取得最小值时，
D．若，则
【答案】A,B
【解析】因为数列为正项等比数列，则，
A：因为
，
所以，A正确；
B：若，则，
所以，B正确；
C：因为，则，
当且仅当时，等号成立，
若取得最小值，则，
即，解得，C错误；
D：例如，
则，，
可得，
因为，则，可得，即，
符合题意，但，D错误；
故答案为：AB
11．大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙.譬如松果、凤梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关.在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法来定义：，，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,C,D
【解析】对于A，由，可得，
则、、，、，
将上式累加得，
因为，则，故A正确；
对于B，由，可得、、、，
将上式累加得，
又因为，则，故B错误；
对于C，因为成立，用数学归纳法证明如下：
①当时，，满足规律，
②假设当时满足成立，
当时，
则
成立，满足规律，
故，令，
则成立，故C正确；
对于D，由，可得，
所以
，故D正确.
故答案为：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．已知等差数列的前项和为．且．则　 　．
【答案】
【解析】由题意可知，，所以
所以.
故答案为：.
13．已知数列的前项和为对任意都有，且，则的取值集合为　 　．
【答案】
【解析】由题意知：，即，
当时，，即，
∴是首项为3，公比为的等比数列，则，
∴知：，
当为奇数时，，得；
当为偶数时，，得，
∴的取值集合为.
故答案为：.
14．已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为　 　.
【答案】7
【解析】因为，
两式相减得：，即.
两边同除以可得，
又，得，满足，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，故，
即，所以，
因为，
令，则，
所以数列单调递增，因为，
所以当时，，即；
当7时，，
即.所以的最小值为7.
故答案为：7.
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
【答案】（1）由题意，设等差数列的公差为，又，，
，，
，
，则，，
，又，
，.
（2）由（1）得，，
当时，，
当时，
，
.
16．已知等比数列的各项都是正数，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前50项之和.
【答案】（1）解：依题意，设公比为，
由题意得，，
解得或（舍去），，
所以.
（2）解：因为，所以，所以，
所以数列是首项，公差等差数列，
所以数列的前50项和为.
17．已知各项均为正数的数列的前项和为，，．
（1）若为等比数列，求和数列的前项和；
（2）若，求数列的通项公式．
【答案】（1）解：若为等比数列，
设等比数列的公比为，，当时，，
因为，所以，所以，即，
解得，，则，即，
则①，
②，
①②得：，
故；
（2）解：因为，所以当时，，
则，即，，
又因为，所以，所以，所以，
所以，即数列是首项为、公比为的等比数列，则，①
设，则，
因为，所以，解得或
当时，，当时，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，
所以②，①-②得．
18．已知数列的首项，的前项和为且满足.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）证明：因为，所以，
又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列.
（2）解：由（1）可得，所以，
当时，
所以，
当时也成立，所以，所以，
因，①
，②
②-①得，③
则，④
③-④得
=
=
=
=
所以.
19．若数列满足：对任意的正整数，都存在正整数，使得成立，则称数列为“阶归化数列”.设为数列的前项和.
（1）若数列为“2阶归化数列”，且满足，证明：，且等号在时取到.
（2）若数列为“16阶归化数列”，且满足，求的所有可能取值.
（3）若正项数列为“阶归化数列”，且满足.证明：对于任意的，均有.
【答案】（1）解：因为数列为“2阶归化数列”，
则，
则或，
又因为且欲使尽可能的大，
则，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，此时，
所以，且等号在时取到.
（2）解：因为数列为“16阶归化数列”，
则，
则或，
若满足，
则数列为递增数列，
若，
则，
则，
则数列为周期数列，
所以，奇数项为，偶数项为.
①若对任意恒成立，
则
此时；
②存在为偶数且，使得，
则第项之后的项为：
其中，，
故，
存在为奇数且，使得，
则
其中，
故，
若存在使得，则将变大或变小，
综上所述，的值只可能为.
（3）解：因为正项数列为“阶归化数列”，
则，
即，
现用数学归纳法证明：对于任意的，均有.
因为，
则
假设当时有，
则当时，
有
，
故对于任意的，均有.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1

展开更多......

收起↑