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人教A版2025-2026学年选修一第二章直线和圆的方程 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
2．已知直线，直线，若，则实数的值为（　　）
A．1 B． C．或1 D．0
3．“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知直线，互相平行，且之间的距离为，则（　　）
A．或3 B．或4 C．或5 D．或2
5．若直线与相离，则点与圆的位置关系为（　　）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定
6．已知圆的一条直径的两个端点分别是，则它们到直线的距离之和为（　　）
A． B． C． D．
7．已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
8．已知点在直线：上，过点的两条直线与圆：分别相切于两点，则圆心到直线的距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（　　）
A．直线的倾斜角的取值范围是
B．若三点在一条直线上，则
C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D．直线的方向向量为，则该直线的斜率为
10．已知点，圆，则（　　）
A．点在内
B．点与上的点之间的最大距离为
C．以点为中点的弦所在直线的方程为
D．过点的直线被截得弦长的最小值为
11．已知曲线，则（　　）
A．曲线关于轴对称
B．曲线围成图形的面积为
C．曲线上的点到点的距离最大值为
D．若点是曲线上的点，则的最大值为1
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．已知直线在轴上的截距为1，则　 　.
13．已知实数，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则的值为　 　．
14．圆内有一点，为过点的弦.当弦被点平分时，则直线的方程为　 　.
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知直线.
（1）求过点与直线平行的直线的方程；
（2）求过点与直线垂直的直线的方程.
16．已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为．
（1）求直线AC的方程；
（2）求顶点C的坐标与的面积．
17．已知圆，直线：.
（1）当为何值时，直线与圆相切；
（2）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程.
18．已知圆过三点，直线．
（1）求圆的方程；
（2）求圆关于直线对称的圆的方程；
（3）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值．
19．已知圆C过，，且圆心C在x轴上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程；
（3）过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记，面积为，，求的最大值．
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人教A版2025-2026学年选修一第二章直线和圆的方程 单元培优卷
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得，
故直线斜率
由于倾斜的范围是，
则倾斜角为.
故答案为：B.
2．已知直线，直线，若，则实数的值为（　　）
A．1 B． C．或1 D．0
【答案】C
【解析】 线，直线，
若， 则，解得.
故答案为：C.
3．“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为直线 与直线 互相垂直，
所以 ，
所以 或 .
因为“ ”可以推出“ 或 ”，“ 或 ”不能推出“ ”，
所以“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充分非必要条件.
故答案为：A
4．已知直线，互相平行，且之间的距离为，则（　　）
A．或3 B．或4 C．或5 D．或2
【答案】A
【解析】由可得，解得，
所以直线的方程为，即，
因为，即，解得或，
所以或，即.
故选：A.
5．若直线与相离，则点与圆的位置关系为（　　）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定
【答案】A
【解析】
由得圆心，半径r=1，因为 直线与相离 ，
所以圆心与直线的距离，即，
所以点在圆内.
故答案为：A
6．已知圆的一条直径的两个端点分别是，则它们到直线的距离之和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为圆的圆心，
过分别作直线的垂线，垂足分别为，
因为圆心到直线的距离为，
由是线段的中点，，
得.
故答案为：D.
7．已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】连接，如图所示：
在中，，
则当最小时，最小，因为，
所以的最小值为.
故答案为：C.
8．已知点在直线：上，过点的两条直线与圆：分别相切于两点，则圆心到直线的距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】由题意得：四点共圆，且圆的直径为，
设，则，
则的中点为圆心，圆心坐标为，半径为，
所以圆的方程为：，
整理得：，
将与相减得：，
故直线的方程为，
圆心到直线的距离，
因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故.
故答案为：D
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（　　）
A．直线的倾斜角的取值范围是
B．若三点在一条直线上，则
C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D．直线的方向向量为，则该直线的斜率为
【答案】A,D
【解析】A、直线的斜率，所以其倾斜角为，故选项A正确；
B、由题意可知，解得，故选项B错误；
C、过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线存在一条过原点，显然不过原点，故选项C错误；
D、直线的方向向量为，则斜率，故选项D正确.
故选：AD.
10．已知点，圆，则（　　）
A．点在内
B．点与上的点之间的最大距离为
C．以点为中点的弦所在直线的方程为
D．过点的直线被截得弦长的最小值为
【答案】A,C
【解析】对于A，因为，所以点在内，故A正确；
对于B，由，
知点与上的点之间的最大距离为，故B错误；
对于C，由，可知弦所在直线斜率为，
故弦所在直线为，则，故C正确；
对于D，由圆的性质可知，当与过的弦垂直时，所得弦长最短，
此时弦长为，故D错误.
故答案为：AC.
11．已知曲线，则（　　）
A．曲线关于轴对称
B．曲线围成图形的面积为
C．曲线上的点到点的距离最大值为
D．若点是曲线上的点，则的最大值为1
【答案】A,D
【解析】对于A，令是曲线上的任意一点，即，
则成立，即点在曲线上，因此曲线关于轴对称，故A正确；
对于B，当时，，即，
它是以为圆心，2为半径的圆在直线及上方的半圆，
当时，，即，
它是以为圆心，为半径的圆在直线及下方部分，
所以，曲线在直线及上方的半圆面积为，故B错误；
对于C，曲线在直线及下方部分上的点与点的距离最大值为：
，故C错误；
对于D，因为表示曲线上的点与点确定直线斜率的，
观察图形知，当过点的直线与曲线在轴下方部分相切时，直线斜率最大，
设此切线方程为，
则，解得，
所以的最大值为1，故D正确.
故答案为：AD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．已知直线在轴上的截距为1，则　 　.
【答案】
【解析】由直线，令，得，
因为直线在轴上的截距为1，所以，解得.
故答案为：.
13．已知实数，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则的值为　 　．
【答案】
【解析】因为圆上恰有三个点到直线的距离为，且圆的半径为，
则圆心到直线的距离为，则，
因为，解得.
故答案为：.
【分析】利用圆上恰有三个点到直线的距离为，且圆的半径为，从而得出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，从而可得出正实数的值.
14．圆内有一点，为过点的弦.当弦被点平分时，则直线的方程为　 　.
【答案】
【解析】易知圆的圆心为，
当弦被点平分时，则，，
则直线的方程为，即为，
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知直线.
（1）求过点与直线平行的直线的方程；
（2）求过点与直线垂直的直线的方程.
【答案】（1）解：由于的方程可化为，故斜率为，所以的斜率是，从而的方程是，即.
（2）解：由于的方程可化为，故斜率为，所以的斜率是，
从而的方程是，即
16．已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为．
（1）求直线AC的方程；
（2）求顶点C的坐标与的面积．
【答案】（1）解：∵，，∴，∴AC方程为：，即．
（2）解：联立解得，．
设，则，∴，∴．
∴，B到直线AC距离为，而．
∴的面积为．
17．已知圆，直线：.
（1）当为何值时，直线与圆相切；
（2）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程.
【答案】（1）解：圆的标准方程为，易知圆心为，半径，
若直线与圆相切，则，解得；
（2）解：设圆心到直线的距离为，则，即，解得
即，解得或，
则直线的方程为或.
18．已知圆过三点，直线．
（1）求圆的方程；
（2）求圆关于直线对称的圆的方程；
（3）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值．
【答案】（1）解：设圆的方程为，代入，
则，解得，
所以圆的方程为；
（2）解：设，
由对称关系可知，解得，所以，
又因为对称圆的半径不变，所以的方程为；
（3）解：已知如图所示：
因为，
由（2）可知关于直线的对称点为，
所以，
当且仅当共线时取等号，
所以，即的最小值为.
19．已知圆C过，，且圆心C在x轴上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程；
（3）过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记，面积为，，求的最大值．
【答案】（1）解：由圆心C在x轴上，设圆的方程为，
因为圆C过，，所以 ，解得，，
则圆的方程为；
（2）解：因为直线与圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离为，
①若直线斜率不存在时，直线与圆C交点为，
直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意．
②若直线斜率存在时，设，整理得，
所以圆心C到直线的距离为，解得，
则直线，即直线，
综上所述，直线的方程为或；
（3）解：由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，消元整理可得，解得或，
则点的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为
由题可知：，，
故，
又因为，同理，
所以，
当且仅当时等号成立．所以的最大值为．
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