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人教A版（2019）2025-2026学年必修第一册第四章 指数函数与对数函数
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的零点所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数，且函数单调递增，图象为连续不间断的曲线，
易知，，
因为，所以函数的零点所在的一个区间为.
故答案为：A.
2．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合，，
因为，所以.
故答案为：B．
3．已知函数且，则（　　）.
A．. B．. C．2. D．4.
【答案】D
【解析】函数，
因为，所以，解得，
则.
故答案为：D.
4．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，，初始时污染物的含量为，若在前5h内消除了10%的污染物，则再过滤10h后污染物含量还剩余初始时的（　　）
A．70% B．85% C．81% D．72.9%
【答案】D
【解析】 污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，
当时，；
当时，，即；
当时，.
故答案为：D.
5．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数是上的减函数，
则，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：D.
6．已知正实数，且，若，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
故，即，
因为，所以；
又因为，结合，
可得，
又因为，
所以，即，
则必有，
所以.
故答案为：A.
7．已知函数，若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，不等式为，即，
因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以；
由于，则当时，函数在上单调递减，
所以，解得，所以；
综上，的取值范围是.
故答案为：B.
8．已知函数，，若，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知函数、均为上的增函数，则函数为上的增函数，
，因为，其中，
所以，故，
当且仅当时等号成立，故的最大值为.
故答案为：A.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若函数且的图象过第一 三 四象限，则参数需满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【解析】当时，函数且的图象不可能同时经过第一 三 四
象限，不满足题意，
当时，要使函数且的图象过第一 三 四象限，则，得.
则，.
故选：BD.
10．下列大小关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【解析】对于选项A：因为均不为0，且，
又因为在定义域内单调递减，可得，
则，所以，故A正确；
对于选项B：因为
且，
，
可得，即，故B正确；
对于选项C：因为，则，可得，
且，所以，故C错误；
对于选项D：对于与，如图所示，
可知当时，则，
令，可得，故D正确；
故选：ABD.
11．养正高中某同学研究函数，得到如下结论，其中正确的是（　　）
A．函数的定义域为，且是奇函数
B．对于任意的，都有
C．对于任意的，都有
D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足
【答案】A,B,C
【解析】A、由，解得，故函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以是奇函数，故A正确；
B、任意的，，故B正确；
C、因为函数，所以，，则，故C正确；
D、取，则，则，故D错误.
故答案为：ABC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．函数（且）恒过定点，则点的坐标为　 　.
【答案】
【解析】函数（且）
令，即，可得，故函数恒过点.
故答案为：.
13．已知，则　 　．（用含a，b的代数式表示）
【答案】
【解析】.
故答案为：.
14．设函数，若对任意，都存在唯一的，使得，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【解析】设函数在、上的值域分别为、，
当时，函数在上为增函数，函数在上为增函数，
此时，函数在上为增函数，
当时，即当时，函数在上为增函数，
当时，则，则，
①当且时，，即，
此时，函数在上为增函数，则，即，
由题意可知，，则，解得，此时，；
②当时，函数在上为增函数，则，
当时，，
当时，，则，此时，，
当时，，则，
此时，，
如下图所示：
若对任意，都存在唯一的，使得，
只需，解得，此时，；
③当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
当时，，
当时，，则，此时，，
当时，，则，如下图所示：
若对任意，都存在唯一的，使得，
只需，解得，与矛盾，此时，不存在，
综上所述，.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知函数为定义在上的偶函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）求方程的解集.
【答案】（1）解：因为函数为定义在上的偶函数，当时，，
所以任取，则，此时，
所以.
（2）解：当时，令，即，
令，则，解得或，
当时，；
当时，，
根据偶函数对称性可知，当时，符合题意的解为，，
综上，原方程的解集为.
16．已知函数.
（1）若函数为定义域上的偶函数，求实数的值；
（2）当时，对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数定义域为，
因为函数为偶函数，可得，即，
化简得，即对任意恒成立，解得.
（2）解：当时，可得函数
因为不等式对恒成立，
所以①，且②对恒成立，由①得.
②即对恒成立，令，
则，
当且仅当时，所以，
综上：的取值范围是.
17．已知函数．
（1）若过定点，求的单调递减区间；
（2）若值域为，求a的取值范围．
【答案】（1）解：由函数过定点，
可得，可得，解得，所以，
令，解得或，即函数的定义域为，
设，则函数在上为单调递减函数，
又由函数在定义域上为单调递增函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减，
所以函数的递减区间为；
（2）解：由函数的值域为，
即为函数值域的子集，即，
当时，可得，此时函数的值域为，符合题意；
当时，则满足，解得，所以；
当时，此时的开口向下，显然不满足题意，
综上可得，实数的取值范围为.
18．已知函数．
（1）求函数的定义域，并根据定义证明函数是增函数；
（2）若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：函数，则，解得，即函数的定义域为，
任取，且，
则，
由于，所以，，，
并且
，则，
于是，
所以，即：，
所以函数在定义域上单调递增；
（2）解：当时，，
所以不等式恒成立等价于对任意的恒成立，
等价于在恒成立．
由可得，所以，，
则，
则实数的取值范围是．
19．已知函数且是奇函数．
（1）求的值；
（2）若，对任意有恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：由函数且是奇函数，
可得，即，可得，
经验证：当时，，满足，
此时函数为奇函数，符合题意.
（2）解：由，可得为单调递减函数，
因为对任意有恒成立，
即对任意有恒成立，
设，则函数开口向上的抛物线，且对称轴为，
当时，即时，此时函数在区间上单调递增，
则，解得；
当时，即时，此时函数在对称轴处取得最小值，
则，解得，因为，此时无解；
当时，即时，此时函数在区间上单调递减，
则，解得，因为，此时无解；
综上可得，实数的取值为.
（3）解：由，可得，解得或（舍去），所以，
则，
设，则，
当时，可得，此时，
又由，
则当时，在上的最小值为；
当时，在上的最大值为；
设，
当时，函数在处取得最小值，
此时，解得（舍去）；
当时，函数的对称轴为，
函数在处取得最大值，此时，解得（舍去）；
当时，函数的对称轴为，
函数在处取得最大值，此时，
综上可得，不存在这样的实数，使得其成立.
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人教A版（2019）2025-2026学年必修第一册第四章 指数函数与对数函数
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的零点所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知函数且，则（　　）.
A．. B．. C．2. D．4.
4．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，，初始时污染物的含量为，若在前5h内消除了10%的污染物，则再过滤10h后污染物含量还剩余初始时的（　　）
A．70% B．85% C．81% D．72.9%
5．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．已知正实数，且，若，则（　　）
A． B．
C． D．
7．已知函数，若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数，，若，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若函数且的图象过第一 三 四象限，则参数需满足（　　）
A． B． C． D．
10．下列大小关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．养正高中某同学研究函数，得到如下结论，其中正确的是（　　）
A．函数的定义域为，且是奇函数
B．对于任意的，都有
C．对于任意的，都有
D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．函数（且）恒过定点，则点的坐标为　 　.
13．已知，则　 　．（用含a，b的代数式表示）
14．设函数，若对任意，都存在唯一的，使得，则实数的取值范围是　 　.
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知函数为定义在上的偶函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）求方程的解集.
16．已知函数.
（1）若函数为定义域上的偶函数，求实数的值；
（2）当时，对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
17．已知函数．
（1）若过定点，求的单调递减区间；
（2）若值域为，求a的取值范围．
18．已知函数．
（1）求函数的定义域，并根据定义证明函数是增函数；
（2）若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．已知函数且是奇函数．
（1）求的值；
（2）若，对任意有恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
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