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人教A版2025-2026学年选修二第五章一元函数的导数及其应用 单元培优卷
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．给出的下列选项中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：C.
2．已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（　　）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】由，
得，
所以.
故答案为：A．
3．如图是某函数的部分图象，则该函数最有可能的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图可知：函数为奇函数，且在处有定义，
A、函数的定义域为，不符合题意，故A不符合；
B、函数为奇函数，，则在单调递增，不符合题意，故B不符合；
C、函数，当时，，当时，，不符合题意，故C不符合；
D、利用排除法，故D正确.
故答案为：D.
4．若，则的解集为（　　）
A．(0，) B．(-1，0)(2，)
C．(2，) D．(-1，0)
【答案】C
【解析】函数 的定义域为(0，+∞)，
而
∵ ，∴，
又
5．已知函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，求导可得，
令，则，解得，则，故.
故答案为：B.
6．已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】函数，，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以，解得.
故答案为：A.
7．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（　　）.
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】曲线，求导可得，
设点，则，解得，，
则点到直线的最小距离为．
故答案为：A.
8．若函数有两个零点，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为.
当时，令，在只有一个零点，不合题意；
当时，求导得()，
当时，，则在单调递增，，所以在只有一个零点，不合题意；
当时，令，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
又时，，
若有两个零点，则，
设，令，解得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以，
所以，
故答案为：C．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数，则(　　)
A．不可能是曲线的切线
B．有两个极值点
C．有三个零点
D．点是曲线的对称中心
【答案】A,B,D
【解析】函数的定义域为，，
A、若是曲线的切线，则有解，但在实数范围内无解，故不可能是曲线的切线，故A正确；
B、当时，解得，即函数在上单调递增；当时，
解得，即函数在上单调递减，则函数有两个极值点，故B正确；
C、，当时，，当时，，则函数有一个零点，故C错误；
D、，则点是曲线的对称中心，故D正确.
故答案为：ABD.
10．已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【解析】由已知得，
，故A正确；
，故B正确；
，而，所以不成立，故C错误；
，故D正确：
故答案为：ABD.
【分析】利用导数的公式和复合函数的导数运算法则以及代入法，从而判断出选项A和选项C；利用代入法、导数的公式和复合函数的导数运算法则以及诱导公式判断出选项B和选项D，从而找出结论正确的选项.
11．关于函数，下列判断正确的是（　　）
A．的极大值点是
B．函数在上有唯一零点
C．存在实数，使得成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
【答案】B,D
【解析】因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值，所以A错误；
B选项中，函数，则，
由于，
即在上恒成立，所以函数在上单调递减，
又当时，，当时，，所以函数在上有唯一零点，
即函数有且只有1个零点，B正确；
C选项中，由，
可得当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0，
故不存在实数，使得成立，即不存在实数，使得成立，C错误；
D选项中，由得
要证，只要证，即证，
由于，故令，则，
故在上单调递增，则，即成立，
故成立，所以D正确．
故答案为：BD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．函数在处的导数是　 　.
【答案】3
【解析】函数定义域为，求导可得，当时，.
故答案为：.
13．已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”．设，则在区间上的“新不动点”为　 　．
【答案】
【解析】由，
得，
由，
得，
则，
得，
所以，
因为，所以，
所以，得，
所以在区间上的“新不动点”为.
故答案为：.
14．不等式对任意成立，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【解析】因为，所以，
要使得不等式对任意成立，
可得分为两种情况：
（1）不等式且对任意成立，
因为不等式恒成立，所以，解得；
因为不等式恒成立，所以在恒成立，
令，所以恒成立，
所以在上单调递增，所以，所以，所以；
（2）方程且有相同的解，即且的零点重合，
因为，所以，
将代入，可得，解得.
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知曲线，设点坐标为，
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程．
（3）若曲线在点处的切线与曲线相切，求点的坐标
【答案】（1）解：由，
可得，
所以，
则曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：设切点为，则，
所以切线方程为，即，
因为切线过点，所以，即，
则，所以，
即，所以，
解得或，
则切线方程为或，
所以过点的切线方程为或.
（3）解：设，则，，
所以曲线在点处的切线为，
又因为曲线在点处的切线与曲线相切，
由，可得，
则，解得或，
则或，
所以或.
16．已知函数，其图象在点处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最值.
【答案】（1）解：因为，则，
因为函数的图象在点处的切线方程为，
则，解得，故.
（2）解：因为，则，列表如下：
增 极大值4 减 极小值0 增
又因为，，
所以，函数在上的最大值为4，最小值为0.
17．已知函数．
（1）当时，求函数的极值点个数；
（2）若对，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，函数的定义域为，
所以，
当时，，，
又，所以，所以在上单调递减，无极值；
当时，令，所以，
因为，，
所以，所以（即）在上单调递增，
又，，
所以存在唯一的使，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，
综上，当时，有1个极小值点，无极大值点．
（2）解：由题意可知，，
令，所以，
所以（即）在上单调递增，所以，
当时，，所以在上单调递增，所以，符合题意；
当时，，
又 ，
因为在上单调递增，所以存在，使得，
当时，，在上单调递减，所以，不合题意，
综上，实数a的取值范围为．
18．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数定义域为，
，
令，解得，
①当时，，当时，单调递增；
当时，单调递减；当时，单调递增.
②当时，恒成立，在上单调递增；
③当时，，当时，单调递增；
当时，单调递减；当时，单调递增，
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）解：由对任意，均存在，使得，
可得，
当时，取得最大值，最大值为0，
由（1）得，当时，在]上单调递增，
即当时，取得最大值，
所以，解得，即，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值，
设，，
易知，函数单调递增，
且成立，则无解，
综上所述，的取值范围为.
19．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）当时，若关于的方程有两个实根和，求证：．
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，解得，
以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在单调递增；
（2）解：由（1）知，当时，函数在上单调递增，当时，，故不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，函数在上单调递减，在单调递增，
且，解得，
综上，的取值范围为；
（3）解：当时，函数定义域为，
令，解得，
函数在上单调递减，在单调递增，且，
因为有两个实根和，所以，
，
不妨取，要证，即证，
现证明，即，
令，，
所以在单调递减，在单调递增，
即，所以，即，
再证明，即，
令，，
所以在单调递减，在单调递增，
即，所以，即，，
所以，即得证.
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人教A版2025-2026学年选修二第五章一元函数的导数及其应用 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．给出的下列选项中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（　　）
A． B．2 C． D．1
3．如图是某函数的部分图象，则该函数最有可能的解析式是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．若，则的解集为（　　）
A．(0，) B．(-1，0)(2，)
C．(2，) D．(-1，0)
5．已知函数，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．1
7．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（　　）.
A． B． C．2 D．
8．若函数有两个零点，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数，则(　　)
A．不可能是曲线的切线
B．有两个极值点
C．有三个零点
D．点是曲线的对称中心
10．已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．关于函数，下列判断正确的是（　　）
A．的极大值点是
B．函数在上有唯一零点
C．存在实数，使得成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．函数在处的导数是　 　.
13．已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”．设，则在区间上的“新不动点”为　 　．
14．不等式对任意成立，则实数的取值范围是　 　.
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知曲线，设点坐标为，
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程．
（3）若曲线在点处的切线与曲线相切，求点的坐标
16．已知函数，其图象在点处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最值.
17．已知函数．
（1）当时，求函数的极值点个数；
（2）若对，恒成立，求实数a的取值范围．
18．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
19．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）当时，若关于的方程有两个实根和，求证：．
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