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人教A版2025-2026学年必修一第二章一元二次函数、方程和不等式 单元培优卷
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列选项说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，反例，，则，故A错误；
对于B，反例，即，而，故B错误；
对于C，若，则，所以，故C错误；
对于D，，，则，所以，即，故D正确.
故答案为：D.
2．不等式的解集为（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【解析】由题意，可转化为，解得，
所以的解集为.
故答案为：A.
3．已知a>0，b>0，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、当时，，故A错误；
B、取，，，故B错误；
C、因为，所以，故C正确；
D、取，，，故D错误.
故答案为：C.
4．已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于、当时，显然错误，故A错；
对于、当时，显然错误，故B错；
对于、当时，显然错误，故C错；
对于、由，得，，
则，
当且仅当时取等号，故正确.
故答案为：.
5．已知，，，则的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．不存在
【答案】C
【解析】由基本不等式得：，当且仅当时取等号．
故答案为：C.
6．已知，，若，则的最小值为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【解析】，，且，
则，
当且仅当 ，即 时等号成立，
则的最小值为16.
故答案为：B.
7．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以1和3为方程的两个根，
由韦达定理可得：，解得以，，且，
则不等式，等价于，即，
解得
故不等式的解集为.
故答案为：C.
8．已知，，若，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，
设，
则，
，
当时，即当，时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，下列选项中是“”的充分条件的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【解析】A，因为，所以，A符合题意，A正确；
B，因为，所以，所以，即，故B符合题意，B正确；
C，因为，所以，即，故C符合题意，C正确；
D，取，但有，故D不符合题意，D错误.
故答案为：ABC.
10．已知，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．的最小值为1
C．若，则的最小值为8
D．若恒成立，则的最小值为
【答案】A,C
【解析】A、，当且仅当时取等号，
即，所以，解得．故选项A正确；
B、，
当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故选项B错误；
C、因为，所以
当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为8，故选项C正确，
D、因为恒成立，且，，
所以恒成立，而
，
令，则可化为，
令，则，
化简得，
而该一元二次方程一定有实数根，得到，
解得，当时，，
故，故即，
得到，则的最小值为，故选项D错误.
故选：AC.
11．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】A,B,D
【解析】解不等式，得或，
解方程，得，
（1）当时，即当时，
不等式的解为：，
此时不等式组的解集为，
依题意，则，
所以；
（2）当时，即当时，
不等式的解为：，
要使不等式组的解集中只有一个整数，
则需满足：，
所以，
所以k的取值范围为.
故答案为：ABD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围　 　
【答案】
【解析】当时，原不等式变为，显然对一切实数都成立；
当时，要想不等式对一切实数都成立，
则，解得，
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
13．已知，则的取值范围是　 　.
【答案】
【解析】由题意可知，，
因为，，则，所以.
故答案为：.
14．已知正实数满足，则的最小值为　 　.
【答案】
【解析】因为，，，且满足，
所以
，
，当且仅当，即，时等号成立；
则，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为16.
故答案为：16．
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．（1）若，试比较与的大小；
（2）已知，，求的取值范围.
【答案】解：（1）
因为，
所以.
（2）设，
则，解得，
所以，
因为，则，
所以，即.
16．已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合.
（1）求集合.
（2）设全集为R，集合，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为不等式的解集为，
则是的两根，
由韦达定理可得，则，
所以不等式为的解集为：.
（2）解：因为是成立的必要不充分条件，则是的真子集，
当时，，即，符合题意；
当时，在上有一个或两个根，
由韦达定理可知方程两根同号，
则，所以，
解得，符合题意，
综上所述，实数的取值范围为.
17．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知米，米．
（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
（2）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
【答案】（1）解：设的长为米，则米，
，，
，
由得
又因为得，
解得：或，
即DN长的取值范围为.
（2）解：由题意可知，矩形花园的面积为：，
则，
当且仅当，即时，矩形花园的面积最小为24平方米.
18．设．
（1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）解关于x的不等式．
【答案】（1）解：不等式，即对一切实数x恒成立，
当时，不恒成立；
当时，要使对一切实数x恒成立，只需，解得；
综上，实数m的取值范围为；
（2）解：当时，，即，可得；解集为；
当时，，
若，则，
若，即时，可得或，解集为；
若，即时，可得，解集为；
若，即时，可得或，解集为；
若，则，可得，解集为.
19．已知关于的不等式的解集为或．
（1）求，的值；
（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；
（3）关于的不等式的解集中恰有5个正整数，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可知，，且方程有两个实数根，分别为和，
则，得，则，得，
所以，；
（2）解：，，所以，，
，
当，即时，等号成立，
所以的最小值为8，
不等式恒成立，即，
即，解得：；
（3）解：，，
不等式的解集中恰有5个正整数，
即的解集中恰有5个正整数，
即集合中恰有5个正整数，
所以，解得：.
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人教A版2025-2026学年必修一第二章一元二次函数、方程和不等式 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列选项说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．不等式的解集为（　　）
A． B．
C．或 D．或
3．已知a>0，b>0，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知，，，则的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．不存在
6．已知，，若，则的最小值为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
7．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C．或 D．或
8．已知，，若，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，下列选项中是“”的充分条件的是（　　）
A． B． C． D．
10．已知，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．的最小值为1
C．若，则的最小值为8
D．若恒成立，则的最小值为
11．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（　　）
A． B． C． D．5
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围　 　
13．已知，则的取值范围是　 　.
14．已知正实数满足，则的最小值为　 　.
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．（1）若，试比较与的大小；
（2）已知，，求的取值范围.
16．已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合.
（1）求集合.
（2）设全集为R，集合，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.
17．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知米，米．
（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
（2）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
18．设．
（1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）解关于x的不等式．
19．已知关于的不等式的解集为或．
（1）求，的值；
（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；
（3）关于的不等式的解集中恰有5个正整数，求实数的取值范围．
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