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人教A版2025-2026学年必修一第三章 函数概念与性质
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的定义域为（　　）
A．（1，＋∞） B．[1，＋∞）
C．（1，） D．
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则，
解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：D．
2．已知函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
因为，
所以.
故答案为：B.
3．已知函数f（x）的定义域为D，则“函数f（x）的值域为R”是“对任意，存在，使得|f（x0）|＞M”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 对任意，存在， 使得，等价于，显然
的值域为，能推出，反之不成立，则函数的定义域为，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故答案为：A.
4．已知函数的值域为，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在单调递增，在单调递增，
所以，当时，单调递增，
则，
又因为函数的值域为，
所以时，函数的值域要取到的所有实数，
所以，
当时，即当时，函数单调递增，
当时，，
当时，，则，
所以，
则的取值范围是.
故答案为：C.
5．设函数若存在最小值，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若时，，；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值；
若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得.
故答案为：B
6．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以在上单调递增，且．
又因为是定义在上的奇函数，
所以在上单调递增，且．
由，
可得或，
解得或．
所以的解集为.
故答案为：B.
7．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数是定义域为的奇函数，所以，由y用替换x，则，因为函数为奇函数，所以，则，故函数是以4为周期的周期函数，因为，所以，所以，故.
故答案为：C.
8．已知函数，.若不等式的解集为，则（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】因为，
根据各选项可知：只需要考虑，
要使不等式的解集为，
当时，则，解得，
当时，无法满足的解集为，故舍去，
故答案为：A.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【解析】对于A，因为，故函数不是偶函数，故A错误；
对于B，由二次函数性质知，图象关于轴对称，且在区间上单调递增，故B正确；
对于C，因为的定义域为，且，
所以函数为偶函数，在区间上单调递增，故C正确；
对于D，因为，所以函数在区间上单调递减，故D错误.
故答案为：BC.
10．已知函数对任意实数均满足，则（　　）
A． B．
C． D．函数在区间上不单调
【答案】A,C,D
【解析】A、用代替，则，，故A正确；
B、令，则，令，则，解得：，
令，，则，故B错误；
C、由知，，所以，故C正确；
D、令，所以，解得：，
令，则，所以，因为，，
所以函数在区间上不单调，故D正确.
故答案为：ACD.
11．已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．
B．函数的值域为
C．函数的单调递增区间为
D．设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
【答案】A,B,D
【解析】画出函数图象.如图，
A项，，，
B项，由图象易知，值域为
C项，有图象易知，区间内函数不单调
D项，当时，恒成立，
所以即在上恒成立，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以.
当时，恒成立，所以在上恒成立，
即在上恒成立
令，
当时，，当时，，故；
令，
当时，，当时，，故；
所以.
故在R上恒成立时，有.
故答案为：ABD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．已知函数，若，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】【解答】函数图像如下图所示：
由图像可知函数连续且在上单调递增，所以转化为，即，解得：.
13．已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则　 　．
【答案】5
【解析】因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数，
所以，即，
解得，则.
故答案为：5.
14．已知函数f（x）= 的最小值为a+1，则实数a的取值范围为　 　．
【答案】{﹣2﹣2 }∪[﹣1，1]
【解析】（1）若﹣a≤0，即a≥0时，f（x）= ，
∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，最小值为f（0）=2，在（0，+∞）上最小值为a+1，
故只需2≥a+1即可，解得0≤a≤1；（2）若0＜﹣a≤1，即﹣1≤a＜0时，则f（x）= ，
∴f（x）在（﹣∞，0]上先减后增，最小值为f（ ）=2﹣ ，在（0，+∞）上最小值为a+1，
故只需2﹣ ≥a+1即可，解得﹣2﹣2 ≤a≤﹣2+2 ，
又﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0，（3）若﹣a＞1，即a＜﹣1时，f（x）= ，
∴f（x）在（﹣∞，0]上先减后增，最小值为f（ ）=2﹣ ，
f（x）在（0，+∞）上的最小值为﹣a﹣1＞0，
而f（x）的最小值为a+1＜0，故只需令2﹣ =a+1即可，解得a=﹣2﹣2 或a=﹣2+2 （舍），
综上，a的取值范围是{﹣2﹣2 }∪[﹣1，1]．
故答案为：{﹣2﹣2 }∪[﹣1，1]．
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知函数
（1）若，求m的值；
（2）若，求a的取值集合．
【答案】（1）解：当时，，
解得或（舍去）；
当时，，
解得.
∴m的值为3或-2.
（2）解：对任意实数，，
，，
解得.
∴a的取值集合是.
16．已知幂函数的图象过点.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：设函数，由的图象过点，得，解得，
所以函数的解析式是.
（2）解：由（1）知，，则，由，得，
即，令，依题意，任意，，
而函数在上单调递减，，因此，
所以实数的取值范围是.
17． 在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.
（1）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
（2）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求的最小值.
【答案】（1）解：释放的去污剂浓度为，
当时，，解得，所以；
当时，，解得，即；
故一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天
（2）解：设从第一次喷洒起，经天，则浓度，
，当且仅当即等号成立.
所以的最小值为.
18．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断并证明在上的单调性；
（3）解不等式.
【答案】（1）解：由题意可知，，解得：，
所以，
因为，即，解得，
所以，．
（2）解：函数在上为减函数；
证明如下：任意，且，
所以，
因为，所以，，
所以，即，所以函数在上为减函数．
（3）解：不等式，即，即，
所以，解得，
所以该不等式的解集为．
19．已知函数对于任意的，都有，当时，，且.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）当时，求函数的最大值和最小值；
（3）设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为任意的都有，
所以，即，
令，得，即，
所以为奇函数.
（2）解：设，则，
，即，
当时，，所以，即，
所以为减函数，
所以当时，函数为减函数，
所以的最大值为，最小值为，
因为，，
所以，，，
，
故.
（3）解：因为为奇函数，
∴
=
=
，
令，即，
因为函数在R上是减函数，
所以，
设，方程有4个不同的解，
则有两个不同的正根，
则，
所以，当 时，函数有4个不同的解.

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人教A版2025-2026学年必修一第三章 函数概念与性质
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的定义域为（　　）
A．（1，＋∞） B．[1，＋∞）
C．（1，） D．
2．已知函数，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知函数f（x）的定义域为D，则“函数f（x）的值域为R”是“对任意，存在，使得|f（x0）|＞M”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数的值域为，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．设函数若存在最小值，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
7．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
A． B． C． D．
8．已知函数，.若不等式的解集为，则（　　）
A． B．1 C． D．2
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
10．已知函数对任意实数均满足，则（　　）
A． B．
C． D．函数在区间上不单调
11．已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．
B．函数的值域为
C．函数的单调递增区间为
D．设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．已知函数，若，则实数的取值范围是　 　．
13．已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则　 　．
14．已知函数f（x）= 的最小值为a+1，则实数a的取值范围为　 　．
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知函数
（1）若，求m的值；
（2）若，求a的取值集合．
16．已知幂函数的图象过点.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
17． 在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.
（1）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
（2）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求的最小值.
18．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断并证明在上的单调性；
（3）解不等式.
19．已知函数对于任意的，都有，当时，，且.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）当时，求函数的最大值和最小值；
（3）设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围.
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