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人教A版2025-2026学年必修一第一章集合与常用逻辑用语 单元培优卷
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设命题：，，则是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】命题：，，
则是：.
故答案为：D.
2．已知集合，若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．2或
【答案】A
【解析】.
当时，或；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；
当时，，则，即，符合题意.
故选：A.
3．若集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，解得，则集合，，
不成立，，故CD错误；
则，，故A错误，B正确.
故答案为：B.
4． 已知集合，，若，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知集合，集合，因为，得，则，
所以的取值范围为.
故答案为：B.
5．设集合，则的元素个数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解析】解不等式，可得，
即集合，因为集合，
所以，则元素个数为5个．
故答案为：B.
6．已知关于的方程的两实根为，则“”是“关于的不等式的解集为”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
若，则或，
若关于的不等式的解集为，则，
则，必要性成立.
综上所述，“”是“关于的不等式的解集为”的必要不充分条件.
故答案为：B.
7．设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（　　）
A．0 B．0， C．0， D．，0，
【答案】D
【解析】因为，，所以集合中的元素个数为1个或3个，
因为，所以或，
①当集合中的元素个数为1时，有两相等的实数根，且无解，
所以，解得；
②当集合中的元素个数为3时，有两不相等的实数根，且有两个相等且异于方程的根的解，
所以，解得或，
综上所述，或或.
故选：D.
8．设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意.
①假设集合中含有个元素，可设，则，
，这与矛盾；
②假设集合中含有个元素，可设，，
，，，满足题意.
综上所述，集合中元素个数最少为5.
故答案为：A.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知全集，集合，集合，则（　　）
A． B．的子集个数为8
C． D．
【答案】B,C
【解析】A、易知，，故A错误；
B、，子集有个，故B正确；
C、易知，则，故C正确；
D、由A选项可知，故D错误.
故答案为：BC.
10．命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【解析】，
则对都成立，
又，所以，
观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD.
故选：BCD.
11．对于集合，，定义集合运算，则下列结论正确的有（　　）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】A,B,C
【解析】设全集为，由题意可知：，
对于A：
，
即 ，故A正确；
对于B：
，
即 ，故B正确；
对于C： 若，则，故C正确；
对于D：若是B的真子集，如图所示
所以 ，故D错误；
故答案为：ABC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．已知命题，，则命题的否定为　 　.
【答案】，
【解析】命题“，”的否定为“，”.
故答案为：，.
13．已知集合，且，则实数的值为　 　．
【答案】3
【解析】因为，所以或
①当时，解得或，
当时，集合满足题意；
当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去；
②当时，解得，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去；
综上所述，.
故答案为：3.
14．已知集合且中至少含有2个元素，若对于中的任意两个不同元素，都有，则称具有性质，若，且同时具有性质和，则中至多有　 　个元素.
【答案】921
【解析】由题意可知，连续11项中集合中最多选取5项，
以为例.
构造抽屉，，，，，，.
①同时选，
因为具有性质和，所以选5则不选；选6则不选；选7则不选，则只剩，所以中属于集合的元素个数不超过5个.
②选2个，
若选，则不可选，又只能选一个元素，可以选，所以中属于集合的元素个数不超过5个.
若选，则只能从中选，但不能同时选，所以中属于集合的元素个数不超过5个.
若选，则不可选，又只能选一个元素，可以选，所以中属于集合的元素个数不超过5个.
③中只选1个，
又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，所以中属于集合的元素个数不超过5个.
由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合的元素至多只有5个，
如取.
因为，所以把每11个连续自然数分组，前184组每组至多选取5项，余一个数2025，给出如下选取方法：从中选取，然后在这5个数的基础上每次累加11，构造184次.
此时集合的元素为：；；；；
，共个元素，而取也满足题意，
经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有个.
故答案为：921.
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知集合，.
（1）当时，求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，集合，，
故；
（2）解：，则，
当时，，即，满足，故；
当时，，即时，则，解得，于是得，
综上所述：，所以实数的取值范围是.
16．设全集，集合，集合．
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由“”是“”的充分不必要条件，得，
又因为，，
因此或，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）解：因为命题“，则”是真命题，则有，
当时，，解得，符合题意，因此；
当时，而，
则，所以，不等式无解集，
所以实数的取值范围.
17．已知集合，集合，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可知，方程有两个不等根、，
所以，，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，，
即，解得（舍去）或.
（2）解：因为方程在区间上有个不等根，
所以，，
解得，
因此，实数的取值范围是.
18．已知.
（1）若成立，求实数的取值范围，
（2）若和中至多有一个成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：若成立，
因为时，，可得，
所以实数的取值范围为.
（2）解：和中至多有一个成立，考虑其反面：和均成立，
若成立，
因为时，，可得；
若成立时，，解得或；
若均成立时，可得，
所以至多有一个成立时，则.
19．若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”．
（1）判断是否为“集合”，说明理由；
（2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合；
（3）求所有满足条件的“集合”．
【答案】（1）解：不是，理由如下：
因为，所以不是“一集合”．
（2）解：设．
若，则或．
由，解得（舍去），此时；
由化为，而，故方程无正整数解．
若，则或，
由，解得，此时；
由化为，而，故方程无正整数解．
综上，所有满足条件的集合为．
（3）解：若“集合”为双元素集，不妨设，则或，
由，则，而，故，此时；
由，则，而，显然不存在正整数解；
所以，“集合”为，其中．
若“集合”含有两个以上的元素，
设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为，
则是“集合”中的元素，
若，解得，
若，则，矛盾，
若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解．
故所有满足条件的“集合”为，其中．
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人教A版2025-2026学年必修一第一章集合与常用逻辑用语 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设命题：，，则是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知集合，若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．2或
3．若集合，，则（　　）
A． B． C． D．
4． 已知集合，，若，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．设集合，则的元素个数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．已知关于的方程的两实根为，则“”是“关于的不等式的解集为”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（　　）
A．0 B．0， C．0， D．，0，
8．设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知全集，集合，集合，则（　　）
A． B．的子集个数为8
C． D．
10．命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
11．对于集合，，定义集合运算，则下列结论正确的有（　　）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．已知命题，，则命题的否定为　 　.
13．已知集合，且，则实数的值为　 　．
14．已知集合且中至少含有2个元素，若对于中的任意两个不同元素，都有，则称具有性质，若，且同时具有性质和，则中至多有　 　个元素.
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知集合，.
（1）当时，求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
16．设全集，集合，集合．
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围．
17．已知集合，集合，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
18．已知.
（1）若成立，求实数的取值范围，
（2）若和中至多有一个成立，求实数的取值范围.
19．若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”．
（1）判断是否为“集合”，说明理由；
（2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合；
（3）求所有满足条件的“集合”．
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