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人教A版2025-2026学年选修一第一章空间向量与立体几何 单元培优卷
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，，且，则（　　）
A．-6 B．5 C．4 D．6
【答案】D
【解析】已知，，由可得，解得.
故答案为：D.
2．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、根据题意，故A错误；
B、设，则不存在，故B正确；
C、，故C错误；
D、设，
则，解得，
则，故D错误.
故答案为：B.
3．已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 以为基底，
则
.
故答案为：D.
4．已知向量，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
当时，等号成立，故的最小值为.
故选：C.
5．平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为平面的一个法向量，点在内，又因为，
所以，
则点到平面的距离为。
故答案为：C.
6．在四棱台中，平面，，，，且，动点满足，则直线与平面所成角正弦值的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
，，，
，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
又因为，所以当时，正弦值最大，且最大值为.
故答案为：.
7．在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，，，
又三棱柱是直三棱柱，平面，即两两垂直，
与 ，
异面直线与所成角的余弦值为 .
故答案为：C.
8．棱长为1的正方体中，，，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（　　）（附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：
则，
平面的截距式方程方程为，
，设的法向量，则，
令，得，令点关于平面的对称点为，
则，解得，即，
连接交平面于点，则在内，且，
因此的周长，
当且仅当与重合时取等号，所以周长的最小值为.
故答案为：D
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【解析】在正方体中，由于点是侧面的中心，
所以，
所以，，即．
故选：AD.
10．在空间直角坐标系中，，则（　　）
A． B．点到直线的距离为
C． D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】B,C
【解析】A、由题意可得：，
故A错误；
B、取，，，，
则点到直线的距离，故B正确；
C、易知，则，故C正确；
D、，设平面的法向量为，
故，取，则则，故D错误.
故答案为：BC.
11．已知四棱锥，底面是边长为的正方形，底面，，点满足，，下列说法正确的是（　　）
A．存在点，使得
B．当时，点到平面的距离为
C．当平面平面时，
D．当二面角为时，
【答案】A,C
【解析】如图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
所以、、、、，
所以，其中，所以点，
A、所以，，
若存在点，使得，则，解得，符合题意，所以存在点，使得，故选项A正确；
B、当时，点，所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则x1=0，z1=-1，所以，
所以，点到平面的距离为，故选项B错误；
C、，，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则y2=0，z2=1，所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则y3=0，z3=，所以，
若平面平面，则，解得，故选项C正确；
D、，，，，
平面的一个法向量为，
则，令，则x1=0，z1=，所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则y3=-1，z3=0，所以，
若二面角为，则，解得，故选项D错误.
故选：AC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．已知，，，若、、、四点共面，则　 　．
【答案】5
【解析】已知，，，若、、、四点共面，
则，所以，所以，
故答案为：5.
13．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为　 　
【答案】
【解析】由条件， 知，，
所以
所以，
故答案为：
14．在棱长为的正方体中，，分别是线段上的动点，直线和平面所成的角为，则点到直线的最大距离为　 　．
【答案】
【解析】以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
，
设平面的一个法向量为，则，故，
取，则，，即，
又因为，直线和平面所成的角为，
所以，
所以，即，
在平面上，以方向为的正方向，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，
直线的方程为，点到直线的距离为，
因为，所以，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以点到直线的最大距离为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知空间三点，，，设，．
（1）求；
（2）与互相垂直，求实数的值．
【答案】（1）解：由题设，，
所以；
（2）解：由，，而，
所以，
可得或．
16．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，设，，.
（1）若底面，试用，，表示出空间的一个单位正交基底；（无需写出过程）
（2）若是的中点，且，求线段的长.
【答案】（1）解：因为底面，四边形是正方形，，，
所以空间的一个单位正交基底为.
（2）解：因为，
由题意知，，，，
，
所以，
即，所以.
17．如图，在三棱锥中，，，平面平面，．
（1）证明：；
（2）若为的垂心，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取中点，连接，
由，
所以，都在平面内，
则平面，
由平面，
得.
（2）解：由（1），易知两两垂直，
如下图，构建空间直角坐标系，
因为，
则，且，
设平面的一个法向量为，
取的中点，
又因为，
所以，为的垂心，
则在上，
设，
则，
故，
因为，
所以，
可得，
故，
设与平面所成角为，
所以与平面所成角的正弦值为：.
18．如图，在直平行六面体中，点在棱上．
（1）若平面，证明：；
（2）若，直线与平面所成的角为，平面与平面所成角的正弦值为，求．
【答案】（1）证明：连接交于点，连接，
因为平面平面，平面平面，
所以，
又因为为直平行六面体，
所以为平行四边形，可得为的中点，
所以为的中点，
则.
（2）解：因为，
所以平行四边形为菱形，
所以，
由直平行六面体，
可得平面，
所以，
又因为，
所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
故，
因为，
可得为等边三角形，
设，则，
所以，
在中，
由勾股定理可得，
所以，
取的中点，连接，则，
以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
可得，
令，则，
又因为是平面的一个法向量，
又因为平面与平面所成角的正弦值为，
所以平面与平面所成角的余弦值为，
则，解得，
所以．
19．如图，在长方体中，，点F是的中点，点P在上，若过FP的平面交于E，交于Q．
（1）求证：平面PBQ；
（2）若点Q是的中点，且，求异面直线EP与BQ所成角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，若平面ABCD上有一点H满足平面，求点H的坐标．
【答案】（1）证明：因为平面平面，
且平面，平面，
∴，
又∵平面PBQ，平面PBQ，
∴平面PBQ.
（2）解：如图，以D为原点，DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，
由（1）知四边形EFPQ为平行四边形，
∴，
则，
解得，，，
∴，，，
∴
设异面直线与所成角为，
则，
所以，异面直线与所成角的余弦值为.
（3）解：设平面ABCD上一点，
因为，
所以，，，
由平面，可取平面的法向量为，
则，
解得，，∴.
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1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
人教A版2025-2026学年选修一第一章空间向量与立体几何 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，，且，则（　　）
A．-6 B．5 C．4 D．6
2．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（　　）
A． B． C． D．
3．已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．已知向量，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．在四棱台中，平面，，，，且，动点满足，则直线与平面所成角正弦值的最大值为（　　）
A． B． C． D．
7．在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．棱长为1的正方体中，，，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（　　）（附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（　　）
A． B． C． D．
10．在空间直角坐标系中，，则（　　）
A． B．点到直线的距离为
C． D．直线与平面所成角的正弦值为
11．已知四棱锥，底面是边长为的正方形，底面，，点满足，，下列说法正确的是（　　）
A．存在点，使得 B．当时，点到平面的距离为
C．当平面平面时， D．当二面角为时，
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．已知，，，若、、、四点共面，则　 　．
13．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为　 　
14．在棱长为的正方体中，，分别是线段上的动点，直线和平面所成的角为，则点到直线的最大距离为　 　．
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知空间三点，，，设，．
（1）求；
（2）与互相垂直，求实数的值．
16．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，设，，.
（1）若底面，试用，，表示出空间的一个单位正交基底；（无需写出过程）
（2）若是的中点，且，求线段的长.
17．如图，在三棱锥中，，，平面平面，．
（1）证明：；
（2）若为的垂心，求与平面所成角的正弦值．
18．如图，在直平行六面体中，点在棱上．
（1）若平面，证明：；
（2）若，直线与平面所成的角为，平面与平面所成角的正弦值为，求．
19．如图，在长方体中，，点F是的中点，点P在上，若过FP的平面交于E，交于Q．
（1）求证：平面PBQ；
（2）若点Q是的中点，且，求异面直线EP与BQ所成角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，若平面ABCD上有一点H满足平面，求点H的坐标．
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