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2023-2024学年天津九十中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．下列命题中，是假命题的为（　　）
A．底角相等的两个等腰三角形都相似
B．顶角相等的两个等腰三角形都相似
C．一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则它的角平分线也扩大为原来的5倍
D．一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，则它的面积也扩大为原来的9倍
3．二次函数y＝﹣5（x+2）2﹣6，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝2
B．当x＜﹣2时y随x增大而减小
C．有最大值﹣6
D．顶点坐标是（﹣2，6）
4．一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是25cm，如果∠UVW＝60°，则VT的长为（　　）
A．50cm B．40cm C．36cm D．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（1，1）或（﹣1，﹣1） B．（4，4）或（8，2）
C．（﹣8，﹣2）或（8，2） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
6．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，设这个苗圃园的宽AB为x，面积为S，则S与x之间的函数表达式为（　　）
A．S＝x（20﹣x），（8≤x≤15）
B．S＝x（20﹣2x），（2.5≤x≤6）
C．S＝x（20﹣x），（2.5≤x≤6）
D．S＝x（﹣2x+20），（x≥2.5）
7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．且k≠1 B． C．且k≠1 D．
8．已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数（k为常数，k≠0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1
9．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率
B．任意写一个整数，它能被2整除的概率
C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率
D．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率
10．如图，若⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（　　）
A．（7，5） B． C． D．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴交于点（4，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中
①abc＞0；
②3a+c＜0；
③M（﹣3，y1），N（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a﹣5没有实数根，则；
⑤对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b＞0．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个根为x1＝1．则另一个根x2＝　 　 ．
14．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是　 　 ．
15．如图，DE∥BC，EF∥DB，AD＝5，DB＝3，FC＝2．则图中相似三角形有（　　）对，△ADE与△ABC的相似比是　 　 ，BF＝　 　 ．
16．已知圆锥的底面圆的半径是30cm，母线长75cm，则它的侧面展开图的圆心角的大小＝　 　 （度）．
17．如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为　 　 ．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC是圆的内接三角形，顶点B，C在格点上．
（1）BC的长等于　 　 ；
（2）E是线段AB与网格线的交点，P是△ABC外接圆上的动点，点F在线段PB上，且满足PF＝2BF．当EF取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的　 　 ．（不要求证明）
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解下列方程：
（1）x2﹣8x+1＝0；
（2）3x（x﹣4）＝2x﹣8．
20．抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象过点A（﹣2，0），B（﹣1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）这个二次函数的图象开口向　 　 ，顶点坐标是　 　 ，当x　 　 时，y随x的增大而减小；
（3）方程﹣x2+bx+c＝0的解是　 　 ；
（4）当0＜x＜3时，y的取值范围是　 　 ．
21．已知A，B，C是⊙O上的三个点，四边形OABC是平行四边形，
（1）如图①，求∠AOC的大小；
（2）如图②，H为AB的中点，连接OH并延长与⊙O相交于点E，过点C作⊙O的切线，与AE的延长线交于点P，求∠APC的大小．
22．如图，已知AE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB＝AC，连接BC与⊙O相交于点D，连接AD，DE，AD＝CD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AE＝10，AD＝8，求AC的长．
23．如图1，为美化校园，学校要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈可移动的喷水头向中央喷水，使水流沿形状相同的抛物线落下．以喷水池中心为原点，水平方向为x轴、中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水柱高度y（单位：m）与水柱距离喷水池中心的水平距离x（单位：m）之间的关系如图2所示．当水流与中心线的水平距离为2m时，达到最大高度3.61m，此时水柱刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高2.61m．
（1）求如图2所示抛物线的解析式．
（2）为形成错落有致的喷水景观，现让喷水头向中心线沿直线滑动，在保持水流形状不变的情况下，要求喷水柱最高点不能超过中心线，若喷水头的位置用（p，0）表示．（仅考虑y轴右侧的情况）．
①求p的取值范围；
②若水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，直接写出此时p的值　 　 ．
24．如图，△ABC、△ADE均为等边三角形，BC＝6，AD＝4．将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转，连接BD、CE．
（1）在图①中证明△ADB≌△AEC；
（2）如图②，当∠EAC＝90°时，连接CD，求△DBC的面积；
（3）在△ADE的旋转过程中，直接写出△DBC的面积S的取值范围．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若M为抛物线对称轴上一动点，若∠BMC＝90°，求点M的坐标；
（3）若点P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．设，求m的最大值及此时P点坐标．
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