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第21章和第22章 一元二次方程和二次函数
阶段综合试题 2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程化成一般形式后，若，则，的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（ ）
A．3或 B．6或 C．1或3 D．27
4．方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一个公共根，则a的值是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
5．用配方法解一元二次方程x2﹣8x=9时，应当在方程的两边同时加上(　　)
A．16 B．﹣16 C．4 D．﹣4
6．把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+2
B．y=﹣2（x+1）2﹣2
C．y=﹣2（x﹣1）2+2
D．y=﹣2（x﹣1）2﹣2
7．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（　　）
A．y＝﹣3（x﹣1）2+3 B．y＝3（x﹣1）2+3
C．y＝﹣3（x+1）2+3 D．y＝3（x+1）2+3
8．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
9．抛物线与x轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（　 　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．方程的解为 ．
12．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
13．有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有100人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为 人．
14．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 s．
15．已知直线与抛物线，当时，它们有且只有一个公共点．则的取值范围为 ．
16．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间（不包含端点），则以下结论：①；②；③；④．其中正确结论为 ．（填序号）
三、解答题
17．解一元二次方程：
(1)（配方法）；
(2)（公式法）．
18．已知二次函数的图象经过和两点．
(1)求m的值．
(2)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围．
(2)若方程的其中一个根为，求方程的另一个根．
20．二次函数的图象经过点，．
(1)求二次函数的解析式．
(2)若点在函数图象上，求的面积．
21．常山是“胡柚之乡”，小明经过市场调查发现，某乡柚农家中胡柚每月的销售量与售价关系如下表：
售价x（元/箱） 80 90 100 110 …
月销量y（箱） 240 220 200 180 …
已知每箱胡柚的成本40元，设每箱胡柚的售价为x元．
(1)每箱胡柚的销售利润是 元（请用含x的式子表示）；
(2)求月销量y与售价x的函数关系式；
(3)设销售胡柚的月利润为W元，那么每箱胡柚的售价为多少元时，当月的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中．
(1)求抛物线的对称轴．
(2)二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值．
23．阅读下列材料：
方程两边同时除以，得，即．因为，所以．
根据以上材料解答下列问题：
(1)已知方程，则_____；_____．
(2)若m是方程的根，求的值．
24．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标；
(3)在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B C A C A D C B
1．D
【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，逐项分析是解决问题的关键．
【详解】解：A、不是一元二次方程，此选项错误；
B、不是整式方程，此选项错误；
C、不是一元二次方程，此选项错误；
D、是一元二次方程，正确；
故答案为：D．
2．B
【分析】要确定二次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
【详解】解：∵一元二次方程化成一般形式为，
∴二次项系数和常数项分别为，即．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
3．B
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据流程图可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
解得或，
故选：B．
4．C
【详解】试题解析：方程 和有一个公共根.
解得：
把代入.
即：
故选C.
5．A
【详解】x2﹣8x=9配方，得x2﹣8x+42=9+42，即（x－4）2=25，方程左右两边同时加上16.
故选A.
点睛：二次项系数为1时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方.
6．C
【详解】解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，
所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2，
故选C．
7．A
【分析】利用顶点式求二次函数的解析式：设二次函数y＝a（x 1）2＋3，然后把（0，0）代入可求出a的值．
【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，3），且过（0，0）点，
设二次函数y＝a（x 1）2＋3，
把（0，0）代入得0＝a＋3解得a＝ 3．
故二次函数的解析式为y＝ 3（x 1）2＋3．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了待定系数法求二次函数的解析式．
8．D
【详解】分析：根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．
详解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，
∴x1x2=0．
故选D．
点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
9．C
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴的交点个数即为对应的一元二次方程实数解的个数，据此利用判别式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴抛物线与x轴的交点个数是2个，
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用—动点问题，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题是解题关键．设点的运动时间为，则，，根据三角形面积公式，得出关于的一元二次方程，求解即可．
【详解】解：设点的运动时间为，则，，
，
，
的面积为，
，
解得：或（舍），
即使的面积为，则点P运动的时间是，
故选：B．
11．
【分析】用因式分解法求解即可.
【详解】
或
x1＝0，x2＝4
故答案是：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
12．3
【分析】根据有两个相等的实数根，可得，代入各项系数即可得解得的值．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式是解题的关键．
13．1000
【分析】根据两轮传染后患了感冒的人数第一次被传染的人数+第二次被传染的人数，求出一个人可以传染的人数，即可进行求解．本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程求解．
【详解】解：设一个人可以传染x个人，
，
解得：，（舍），
∴经过三轮后患了感冒的人数为：（人），
故答案为：1000．
14．2
【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．
【详解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
15．或
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握函数与方程、函数与不等式的关系成为解题的关键．
分两种情况讨论：当抛物线与直线有一个交点时，利用函数与方程的关系求得m的取值范围即可；当抛物线与直线有两个交点时，由当时，它们有且只有一个公共点得到关于m的不等式组求解即可．
【详解】解：当抛物线与直线有一个交点时，
令，整理得：，
若直线与抛物线有且只有一个公共点，则，
∴，解得:,
当时，;
当时，;
∵当时，它们有且只有一个公共点，
∴时，符合题意；
当抛物线与直线有两个交点时，
由题意可知或，
解不等式组，可得：，
解不等式组，可知无解；
∴当时，它们有且只有一个公共点．则m的取值范围为．
综上，m的取值范围为或．
故答案为：或．
16．①③④
【分析】此题考查了二次函数与系数的关系，对于二次函数（），二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，一次项系数和二次项系数共同决定了对称轴的位置，常数项决定抛物线与轴的交点：抛物线与轴交于．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴在轴右侧，
∴，
∵对称轴为，抛物线与轴的一个交点在点和之间，
∴与轴的另一个交点在点和之间，
∴抛物线和轴正半轴相交，当时，，
∴，
∴，
故①符合题意，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
故②不符合题意，
∵抛物线的顶点为，
∴抛物线为，
又∵点在点和之间，
∴当时，，
∴，即，
当时，，
∴，即，
∴，
故③符合题意，
把顶点为代入抛物线中，得，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故④符合题意，
故答案为：①③④．
17．(1)
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法和配方法解一元二次方程．
（1）利用配方法解一元二次方程即可得到答案；
（2）利用公式法解一元二次方程即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
解得，
，，
，；
（2）解：，
，
，
，
，．
18．(1)m的值为4
(2)顶点坐标为，对称轴为直线
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）将和两点代入二次函数，即可解决问题；
（2）由（1）可得，进而可得该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过和两点，
∴，
∴，
∴m的值为4；
（2）解：由（1）知：二次函数，
∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线．
19．(1)m
(2)方程的另一个根是0
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程，熟练掌握定理是解题的关键．
（1）根据方程有实数根，得到计算即可．
（2）根据方程的一个根为 1，代入方程求解，再代入方程计算即可．
【详解】（1）解：∵方程有实数根，
∴，
∴．
（2）解：∵方程的其中一个根为，
∴，
∴，
∴原方程为．
∴，，
∴方程的另一个根是0．
20．(1)
(2)3
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象上点的坐标特征．
（1）先把点、的坐标分别代入中得到关于、的方程组，然后解方程组求出、，从而得到二次函数解析式；
（2）先把代入（1）中的解析式求出，然后根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）把，分别代入得
，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）把代入得，
点的坐标为，
，，
的面积．
21．(1)
(2)
(3)售价为120元时，当月的销售利润最大，最大利润是12800元
【分析】此题考查了列代数式，一次函数的应用，二次函数的应用，
（1）根据销售利润售价成本即可求出利润；
（2）根据待定系数法即可求出销量y与售价x的函数关系式 ；
（3）根据月利润每箱的利润总销量列出函数关系式，根据配方法法将二次函数化为顶点式，再根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得，
每箱胡柚的销售利润是元；
（2）解：设月销量y与售价x的函数关系式为：，
由题意得：
解得
∴；
（3）解：由题意得，
∵
∴ 售价为120元时，当月的销售利润最大，最大利润是12800元．
22．(1)
(2)有最小值，最小值为1
【分析】本题主要考查二次函数的解析式，二次函数的图像与性质，解题的关键是确定顶点是抛物线的最高点或者最低点．
（1）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势,则,进而求解；
（2），故抛物线有最小值，即可求解．
【详解】（1）解：已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，
则抛物线开口向上，，
由，则，
则抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为直线；
（2）解：，抛物线有最小值，
当时，，
即二次函数有最小值，这个最小值为1．
23．(1)4，18
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，完全平方公式，分式的求值：
（1）仿照题意求解即可；
（2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再仿照题意求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4；18；
（2）解：∵m是方程的根，
∴，
∴（时不满足原方程），
∴，
∴，
∴，
∴．
24．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或
【分析】（1）把点的坐标代入抛物线中可得的值，从而可得抛物线的解析式；
（2）根据的面积为列方程可得点的坐标；
（3）由等腰三角形行政，分情况讨论：①当时；②当时；③当时，从而可以解答．
【详解】（1）解：把点的坐标代入抛物线中得：
，
抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，，解得，，
，
，
，
，
，
，
当时，，
，
；
（3）解：当时，时，
，
，
，
①当时，；
②当时，；
③当时，设，则，
在中，，即，解得，
，
；
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，直角三角形性质，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，两点的距离，勾股定理，待定系数法等知识，其中（3）根据等腰三角形的判定分情况讨论是本题解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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