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22.3 实际问题与二次函数（图形问题） 过关练习 2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．如图①，在中，，，点是边上一动点，过点作，交边（或）于点．设，的面积为，如图②是与的函数关系的大致图像，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，将一根长的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是（　　）

A． B． C． D．
4．如图，在长为20m、宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1m，则花圃中的阴影部分的面积有（ ）
A．最小值247 B．最小值266 C．最大值247 D．最大值266
5．超市有一种“喜之郎”果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，横截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，那么要制作这样一个包装盒至少纸板（ ）平方厘米．（不计重合部分）
A．253 B．288 C．206 D．245
6．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（ ）
A．20 B．40 C．100 D．120
二、填空题
7．如图，在中，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动．如果P，Q分别同时出发，当的面积最大时，运动时间t为 s．
8．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 cm2．

9．如图是一个长为3米、宽为1米的矩形隔离栏（），中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A、点B在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（）与第2根栏杆未涂色部分（）长度相等，则的长度是 米．
10．如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则与的关系式是 ．
11．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙足够长）围成一块留有一扇宽门的长方形花圃．设花圃宽为，面积为，则与的函数表达式为 ．
12．如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙（足够长），其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长的栅栏，设每间羊圈垂直于墙的一边长为，三间羊圈的总面积，则关于的函数解析式是 ，的取值范围是 ，当 时，最大．
三、解答题
13．某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设计费能达到24000元吗？为什么？
（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
14．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？
15．某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：
方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）若a=6．
①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？
②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？
（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．
16．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为的矩形纸板，如图，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形，如图，设小正方形的边长为厘米.、
（1）若矩形纸板的一个边长为.
①当纸盒的底面积为时，求的值；
②求纸盒的侧面积的最大值；
（2）当，且侧面积与底面积之比为时，求的值.
18．如图，某住宅小区有一块矩形场地，，开发商准备对这块地进行绿化，分别设计了①②③④⑤五块地，其中①③两块形状大小相同的正方形地用来种花，②④两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪，⑤为矩形地用来养殖观赏鱼．

（1）设矩形养殖观赏鱼用地的面积为，长为，求y与x之间的函数关系式；
（2）求矩形养殖观赏鱼用地面积的最大值．
19．如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6米．（ π取3）
（1）若设扇形半径为x，请用含x的代数式表示出AB．并求出x的取值范围．
（2）当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）
20．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
21．如图，交易会上主办方利用足够长的一段围墙，用围栏围成一个长方形的空地，中间用围栏分割出2个小长方形展厅，并且在与墙平行的一边上各开了一扇宽为1.5m的门，总共用去围栏36m．
(1)若长方形展厅的面积为，求边的长为多少米？
(2)当边的长为多少米时，长方形展厅的面积最大？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B A A A D
1．D
【分析】先确定与的函数关系式，判断的面积与的关系，分类讨论：点在上时，点在上时，点在点上时，由此即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴的面积为，
当时，，则（舍去），，
∴当时，，
当点从点到点时，的面积，随的增大而增大；
当点从点到点时，如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
的面积，此时随的增大而减小，
∴当点到点处，的面积最大，且，如图所示，
∴在中，，，，
∴，，
故选：．
【点睛】本题主要考查三角形与动点问题，理解动点运动图像的变换，结合面积图像的最大值是解题的关键．
2．B
【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．
【详解】设剩余部分的面积为y，则：
，
故选B.
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出答案是解题关键．
3．A
【分析】设围成的矩形的一边长为，围成的矩形面积为，根据矩形面积公式可得S与x 的关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：设围成的矩形的一边长为，围成的矩形面积为，则另一边长为，根据题意，得：
，
∴当时，．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确列出函数关系式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．A
【分析】设小径的宽为xm，阴影部分的面积为ym2，根据面积可以列出y与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质及x的取值范围即可解答．
【详解】解：设小径的宽为xm，阴影部分的面积为ym2
由题意得，y=(20 x)(14 x)=x2 34x+280=(x-17)2-9(0有最小值，对称轴为直线x=17，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小
当x=1时，y有最小值，最小值为：y= (1-17)2-9=247
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用及性质，利用二次函数的性质是解题的关键．
5．A
【分析】如图，“喜之郎”果冻礼盒是一长方体．2个底面为矩形A′B′C′D′（如图3），2个侧面为矩形ABCD（如图2），2个侧面是以AB为高，AE为底的矩形，据此建立坐标系利用二次函数的知识求得相关数量即可．
【详解】解：建立如图（2）所示的平面直角坐标系，过切点K作KH⊥OD于点H．
依题意知K（x，2）．
易求开口向上抛物线的解析式：y=x2，
所以2=x2，
解得x=或x=﹣（舍去），
∴OH=HG=，
∴BC=BO+OH+HG+GC=3+++3=6+3，
∴S矩形ABCD=AB BC=4×（6+3）=24+12（平方厘米）．
如图3，S矩形A′B′C′D′=6BC=6×（6+3）（平方厘米）．
所以，2S矩形ABCD+2S矩形A′B′C′D′+2AB AE=178+80（平方厘米）．
2×（24+12）+2×（36+18）+2×4×6=168+60≈253（平方厘米）．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题的关键是首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后求解．
6．D
【分析】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为（40÷2﹣x）cm，根据长方形的面积公式列出方程x（40÷2﹣x）=a，整理得x2﹣20x+a=0，由=400﹣4a≥0，求出a≤100，即可求解．
【详解】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得
x（40÷2﹣x）=a，整理，得
x2﹣20x+a=0，
∵=400﹣4a≥0，
解得a≤100，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，找到等量关系并列出方程是解题的关键．
7．2
【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．
本题考查二次函数最大(小)值的求法．先用含的代数式表示出、再根据三角形的面积公式计算．
【详解】解：根据题意得，
三角形面积为：
∴当时，的面积最大为，
故答案为：2．
8． 3 18
【分析】设运动时间为t（0≤t≤6），则，列出二次函数解析式，即可求解．
【详解】根据题意得：
∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．
故答案是：3，18
9．/
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，由实际问题正确建立数学模型是解题的关键．设B为坐标原点，所在的直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为：，先分别将点B和点A的坐标代入，求得c的值并用a表示b，设，用含m的式子分别表示出点E和点P的坐标，代入解析式，从而得出关于a和m的方程组，求解即可．
【详解】解：设B为坐标原点，所在的直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
设抛物线解析式为：，
将代入得：，
∴，
∵米，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
将点E和点P坐标分别代入抛物线解析式得：
，
解得：，
∴米，
故答案为：．
10．y=4x2+160x+1500
【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式．
【详解】解：由题意可得：y=（50+2x）（30+2x）
=4x2+160x+1500．
故答案为：y=4x2+160x+1500．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是根据题意，找到所求量的等量关系，此题主要利用了长方形的面积公式解题．
11．
【分析】根据已知条件得到花圃的长为（24-2x+t）m，宽为，根据长方形的面积公式即可得到结论.
【详解】解：根据题意可得：花圃的长为（24-2x+t）m，宽为，
则面积为=x（24-2x+t）=；
故答案为.
【点睛】本题关键是用含x的代数式表示花圃的长，门的宽度容易漏加，需要注意.
12． / 3
【分析】先根据栅栏的总长度表示出三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为，再根据长方形的面积公式表示即可得到关于的函数关系式；结合图形，列出关于的不等式组，解之即可求出的取值范围；利用二次函数的顶点公式即可求得开口向下的抛物线的最大值及对称轴，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，该农场计划用木材围成总长的栅栏，每间羊圈垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，
所以，关于的函数解析式是，
由图可知，解得，
所以，的取值范围是，
因为，
所以，当时，三间羊圈的总面积最大．
故答案为：，，3．
【点睛】本题主要考查了利用二次函数解决实际问题，理解题意，正确列出二次函数解析式是解题关键．
13．（1）S=﹣x2+8x，其中0＜x＜8；（2）能，理由见解析；（3）当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．
【分析】（1）由矩形的一边长为x、周长为16得出另一边长为8﹣x，根据矩形的面积公式可得答案；
（2）由设计费为24000元得出矩形面积为12平方米，据此列出方程，解之求得x的值，从而得出答案；
（3）将函数解析式配方成顶点式，可得函数的最值情况．
【详解】解：（1）∵矩形的一边为x米，周长为16米，
∴另一边长为（8﹣x）米，
∴S=x（8﹣x）=，其中0＜x＜8，
即（0＜x＜8）；
（2）能，理由如下：
∵设计费能达到24000元，
∴当设计费为24000元时，面积为24000÷200=12（平方米），
即=12，解得：x=2或x=6，
∴设计费能达到24000元．
（3）∵，
∴当x=4时，S最大值=16，
∴当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．
14．(1)；(2) 450cm2
【详解】（1）解：∵其中一条对角线的长x，则另一对角线=60-x．
∴S=x(60-x)，
整理得．
（2）所以时，菱形风筝面积S最大，
最大面积是．
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对二次函数及菱形面积的学习．
15．（1）①AD的长是5米；②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是平方米；（2）乙种方案能围成面积最大的矩形花圃．
【分析】（1）①设AB的长是x米，根据矩形的面积公式列出方程；
②列出面积关于x的函数关系式，再根据函数的性质解答；
（2）设AB=x，能围成的矩形花圃的面积为S，根据题意列出S关于x的函数关系，再通过求最值方法解答．
【详解】解：（1）①设AB的长是x米，则AD=20-3x，
根据题意得，x（20-3x）=25，
解得：x1=5，x2=，
当x=时，AD=15＞6，
∴x=5，
∴AD=5，
答：AD的长是5米；
②设AB的长是x米，矩形花圃的最大面积是y平分米，则AD=（20-3x+6），
根据题意得，y=x（20-3x+6）=-x2+13x=-（x-）2+，
答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是平方米；
（2）按图甲的方案，设AB=x，能围成的矩形花圃的面积为S，
∴S=x（20-3x）=-3x2+20x=-3（x-）2+，
当x=时，AD=10＞a，
故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是正确列出一元二次方程和函数解析式，运用函数的性质解答．
16．(1)CG长为8m，DG长为4m
(2)当BC=m时，围成的两块矩形总种植面积最大=m2
【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，再由矩形面积公式求解；
（2）设两块矩形总种植面积为y， BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BC×DC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可 .
【详解】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x-)2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC=m时，y最大=m2．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程．
17．（1）①12；②当时，；（2）10
【分析】（1）①根据题意列方程求解即可；
②一边长为90cm，则另一边长为40cm，列出侧面积的函数解析式，配方可得最值；
（2）由EH：EF=7：2，设EF=2m、EH=7m，根据侧面积与底面积之比为9：7建立方程，可得m=x，由矩形纸板面积得出x的值．
【详解】（1）①矩形纸板的一边长为，
矩形纸板的另一边长为，
（舍去）
②
，
当时，.
（2）设EF=2m，则EH=7m，
则侧面积为2（7mx+2mx）=18mx，底面积为7m 2m=14m2，
由题意，得18mx：14m2=9：7，
∴m=x．
则AD=7x+2x=9x，AB=2x+2x=4x
由4x 9x=3600，且x＞0，
∴x=10．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据矩形的面积公式列出面积的函数表达式或方程是解题的关键．
18．（1）；（2）矩形养殖观赏鱼用地面积的最大值为
【分析】（1）根据矩形的性质得到CD=AB=16，AD=BC=12，根据正方形AEFG和正方形JKCI形状大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形状大小相同，得到DG=12-x，FL=x-（12-x）=2x-12，BE=16-x，LI=（16-x）-x=16-2x，根据矩形的面积公式即可得到结论；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）在矩形ABCD中，CD=AB=16，AD=BC=12，
∵正方形和正方形形状大小相同，矩形和矩形形状大小相同，，
∴，，，．
∴，
∴，
∵FL=＞0，LJ=＞0，
∴，
∴；
（2）由（1），得，
∵，
∴当时，．
故矩形养殖观赏鱼用地面积的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，矩形的性质，矩形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
19．（1）0＜x＜；（2）当x＝时，S最大＝．
【分析】（1）根据2AB＋7半径＋弧长＝6列出代数式即可；
（2）设面积为S，列出关于x的二次函数求得最大值即可．
【详解】解：（1）根据题意得：2AB+7x+πx＝2AB+10x＝6，
整理得：AB＝3﹣5x；
根据3﹣5x＞0，
所以x的取值范围是：0＜x＜；
（2）设面积为S，则S＝,
当x＝时，S最大＝．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．(1)x的值为2m；
(2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2
【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
∴0＜x＜，
∵-3<0，
∴x＜4时，S随着x的增大而增大，
∴当x=时，S有最大值，最大值为，
即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．(1)3或10米
(2)当时，所围成的长方形展厅的面积最大
【分析】（1）设的长为x米，则米，根据长方形展厅的面积为，可列出一元二次方程，解出方程即可；
（2）根据题意设的长为x米，长方形展厅的面积，化为顶点式，可知，即当时，所围成的长方形展厅的面积最大．
【详解】（1）解：设的长为x米，则米，根据题意得：
解得，
答：的长为3或10米．
（2）解：设的长为x米，则米，长方形展厅的面积为S，
由题意可得，
∴对称轴为，
∴当时，所围成的长方形展厅的面积最大．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用和二次函数的性质，根据题意列出方程核函数表达式是解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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