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22.3 实际问题与二次函数（销售利润问题） 过关练习
2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（ ）
A．最大值为5万元 B．最大值为7万元
C．最小值为5万元 D．最大值为6万元
2．某超市以每件10元的进价购进200件玩具，销售人员预期最近的促销活动，单价是19元时只能卖出100件，而单价每降低1元则可以多卖出20件，那么单价是　　元时，此次促销活动的预期获利最大．
A．15 B．16 C．17 D．18
3．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　）
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
4．某商店销售某种商品所获得的利润（元）关于所卖的件数的函数解析式是，则当时的最大利润为（ ）
A．2500元 B．47500元 C．50000元 D．250000元
5．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经过调查发现，销售单价每降低5元，每天可多售出10件，下列说法错误的是（ ）
A．销售单价降低15元时，每天获得利润最大
B．每天的最大利润为1250元
C．若销售单价降低10元，每天的利润为1200元
D．若每天的利润为1050元，则销售单价一定降低了5元
二、填空题
6．进价为80元的某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y（件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 ，每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 ．（以上关系式只列式不化简）．
7．某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润（万元）．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 万元．
8．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6-x）个，则当x= 元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
9．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（，且x为整数）出售，可卖出件，若使利润最大，则每件商品的售价应为 元．
10．某体育用品商店购进一批涓板，每块滑板利润为30元，一星期可卖出80块.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价1元，则一星期可多卖出4块，设每块滑板降价x元，商店一星期销售这种滑板的利润是y元，则y与x之间的函数表达式为 ．
11．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．

12．某商品进价为元，当每件售价为元时，每天能售出件，经市场调查发现每件售价每降低元，则每天可多售出件，当店里每天的利润要达到最大时，店主应把该商品每件售价降低 元．
三、解答题
13．已知某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每星期可卖出300件．经市场调查反映：如调整价格，每件每涨价1元，每星期要少卖出10件．现设该商品每件涨价x元，每星期的利润为y元．
（1）求y关于x的函数解析式（不用体现自变量x的取值范围）；
（2）每件商品涨价多少元时，销售该商品每星期能获得最大利润？最大利润是多少元？
表格分析：
进价（元/件） 售价（元/件） 每星期销售数量（件） 总利润（元）
涨价前 40 60 300 _________
涨价后 40 _________ _________ _________
规范解答：
14．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
15．鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？
16．在端午节前夕三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的售销情况，请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题
小丽：每个定价3元，每天能卖出500个，而且，这种粽子每上涨0.1元，其售销量将减小10个
小华：照你所说，如果实现每天800元的售销利润，那该如何定价？莫忘了物价局规定售价不能超过进价的240%哟
小明：800元售销利润是不是最多的呢？如果不是，那该如何定价，才会使每天的利润最大？．
（1）小华的问题解答：
（2）小明的问题解答：
17．某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
18．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．
（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；
（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
19．某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
20．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 B C A B D
1．B
【分析】本题考查二次函数的应用，求二次函数的最值；将二次函数化为，由二次函数的性质，即可求解；掌握二次函数最值的求法是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，
（万元）；
故选：B．
2．C
【分析】根据题意可以得到利润和单价的关系式，从而可以求得当单价为多少时，利润最大，本题得以解决．
【详解】设服装单价是x元，销售利润为w元，
所以当x=17时，w取得最大值，
故选：C.
【点睛】考查二次函数的应用，列出二次函数解析式，配方成顶点式即可求出单价为多少时，利润最大.
3．A
【分析】设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】解：设获得的利润为y元，由题意得：
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地写出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键．
4．B
【分析】利用二次函数的对称轴公式可得：对称轴为：，再利用二次函数的图象及性质可得当时，y有最大值，将其带入解析式即可求解．
【详解】解：二次函数的对称轴为：，
，且，
二次函数的图象在时，y随x的增大而增大，
当时，y有最大值，最大值为：，
当时的最大利润为：47500元，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．
5．D
【分析】设每件降价x元，由“每降低5元，每天可多售出10件”可知每降价1元可多售2件，根据题意可知每天的利润为（20+2x）（40-x），据此一一判断选项即可.
【详解】因为每降低5元，每天可多售出10件，所以每降价1元可多售2件，
设每件降价x元，每天的利润为y元，则每天可售（20+2x）件，每件利润为40-x，
所以每天的利润为
将整理成顶点式有，
由顶点式可知当销售单价降低15元时，每天获得利润最大，每天的最大利润为1250元，故A、B正确；
将x=10代入到解析式中解得y=1200，故C正确；
令y=1050，则，解得，即当每天的利润为1050元，则销售单价可能降低了5元，也可能降低了25元，所以D错误；
综上所述，答案选D.
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，能够根据题意列出每天利润与降低单价的二次函数方程是解题的关键.
6． y＝2000－5（x－100） w＝[2000－5（x－100）]（x－80）
【解析】略
7．205
【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题．由可获得利润，即可知当时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值．
【详解】解：
∴当时，取最大值41，
（万元），
年所获利润的最大值205万元，
故答案为：205．
8．3.
【详解】试题解析：由题意可得函数式y=（6-x）x，
即y=-x2+6x，
当x=-=3时，y有最大值，
即当x=3元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
考点：二次函数的应用．
9．25
【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
【详解】解：设利润为w元，
则w=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x=25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
10．
【分析】根据销售利润为销量每件利润进而得出答案．
【详解】解：由于每块滑板降价元，商店一星期销售这种滑板的利润是元，
则与之间的函数表达式为：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，解题的关键是掌握利用利润销量每件商品利润进而得出利润与定价之间的函数关系式．
11．121
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
，
∵1<0，
∴当时，w有最大值为121，
故答案为：121．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．
12．
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据每天的利润单件利润每天售出的数量，列出函数解析式，再根据函数的性质即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出函数解析式是解题的关键．
【详解】解：设该商品每件售价降低元，每天的利润为元，
根据题意得：，
∵，
∴当时，有最大值，
∴当店里每天的利润要达到最大时，店主应把该商品每件售价降低元，
故答案为：．
13．表格见解析；（1）；（2）每件商品涨价5元，每星期可获得利润最大，最大利润是元．
【分析】（1）根据所获利润=每件利润×销售量可得函数解析式；
（2）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：表格分析：
进价（元/件） 售价（元/件） 每星期销售数量（件） 总利润（元）
涨价前 40 60 300 6000
涨价后 40
（1）∵销售价每涨1元，每星期要少卖出件，
∴每星期实际可卖出件，
；
（2），
，
∴当时，y取得最大值，
答：每件商品涨价5元，每星期可获得利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解决本题的关键．
14．(1)
(2)13
(3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：（-5x+150）（x-8）=425，
整理得：，
解得：，
∵8≤x≤15，
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）解：根据题意得：
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x<19时，w随x的增大而增大，
∴当x=15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系，
15．（1）y与x之间的函数解析式为y=-0.1x+68，；（2）当房价定为320元时，宾馆利润最大，最大利润是10800元
【分析】（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，根据待定系数法即可得出答案；
（2）设宾馆每天的利润为W元，利用房间数乘每一间房间的利润即可得到W关于x的函数解析式，配方法再结合增减性即可求得最大值．
【详解】（1）根据题意，设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
图象过（280，40），（290，39），
∴，解得：
∴y与x之间的函数解析式为y=-0.1x+68，
∵每间房价不低于200元且不超过320元
∴
（2）设宾馆每天的利润为W元，
，
∴
当x＜350时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当x=320时，W最大=10800
∴当房价定为320元时，宾馆利润最大，最大利润是10800元
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用及待定系数法求一次函数的解析式，注意利用配方法和函数的增减性求函数的最值，难度不大．
16．（1）当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润；（2）800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元时，每天的销售利润最大
【详解】（1）设定价为x元，利润为y元，由题意得，y=（x-2）（500-×10）
y=-100（x-5）2+900，
-100（x-5）2+900，=800，
解得：x=4或x=6，
∵售价不能超过进价的240%，
∴x≤2×240%，
即x≤4.8，故x=4，
即小华问题的解答为：当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润；
（2）由（1）得y=-100（x-5）2+900，
∵-100＜0，
∴函数图象开口向下，且对称轴为直线x=5，
∵x≤4.8，故当x=4.8时函数能取最大值，
即y最大=-100（x-5）2+900=896．
故小明的问题的解答为：800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元时，每天的销售利润最大．
考点: 二次函数的应用
17．(1)（13≤x≤18），
(2)销售单价定为18元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是700元
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18），根据坐标（14，220），（16，180）代入求值即可；
（2）根据利润=单价利润×销售量，再根据二次函数的性质计算求值即可；
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18），由图象可知，
当时，；当时，，
∴，
解得，
∴y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18），
（2）设每天所获利润为w元，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜19时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，
（元），
答：销售单价定为18元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是700元；
【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
18．y=﹣10x2+1600x﹣48000；80元时，最大利润为16000元．
【分析】（1）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；
（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．
【详解】解：（1）S=y（x﹣20）
=（x﹣40）（﹣10x+1200）
=﹣10x2+1600x﹣48000；
（2）S=﹣10x2+1600x﹣48000
=﹣10（x﹣80）2+16000，
则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式．
19．（1）y＝﹣40x+880；（2）当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元
【分析】（1）销售单价为x（元），销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），则为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80即可得出每天的销售量y；
（2）设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）由题意得：y＝80+20×，
∴y＝﹣40x+880；
（2）设每天的销售利润为w元，则有：
w＝（﹣40x+880）（x﹣16）
＝﹣40（x﹣19）2+360，
∵a＝﹣40＜0，
∴二次函数图象开口向下，
∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．
答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元．
【点睛】本题考查二次函数的应用,关键在于理解题意找出等量关系.
20．（1）；（2）当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元；（3）
【分析】（1）首先根据题意求出自变量x的取值范围，然后再分别列出函数关系式即可；
（2）对于（1）得到的两个函数关系式在其自变量取值范围内求出最大值，然后进行比较，即可得到结果；
（3）先求出当，即时的销售单价，得当，从而，得，可知，当时，元，从而有，解方程即可得到a的值．
【详解】解：（1）当，即，
．
∴当时，
当时，
．
（2）当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．
当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．
∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元．
（3），
，则．
令，则．
解得：．
在平面直角坐标系中画出w与x的数示意图．
观察示意图可知：
．
又，
．
．
对称轴为
，
对称轴．
∴当时，元．
，
．
又，
．
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