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22.1.1二次函数 过关练习 2025-2026学年
上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下列式子中二次函数有（　　）
①；
②；
③；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．函数是二次函数的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )
A．y=x2 B．y= C．y= D．y=a2x
4．已知函数是二次函数，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．任意实数
5．若正方形的边长为，边长增加，面积增加，则关于的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．对于关于x的函数，下列说法错误的是( )
A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数
C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时，
7．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
8．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（　　）
①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a之间的关系为b＝0.8（220－a）；
②圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为V＝πr2h（h为定值）；
③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为h＝gt2（g为定值）；
④导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关系为Q＝RI2（R为定值）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．若函数y=（m+2）是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为 ．
10．一正方形的边长为，把此正方形的边长增加的正方形面积为，则是的二次函数，其函数式为________，其中________是二次项系数，一次项系数为________，常数项为________．
11．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与底面半径r的函数关系式为 ．
12．已知点是二次函数上的一点，则这二次函数的解析式是 ．
13．二次函数经过点，则k= .
三、解答题
14．当m为何值时，是二次函数？
15．若函数是二次函数．
(1)求k的值．
(2)当时，求y的值．
16．已知函数．
当函数是二次函数时，求的值；
当函数是一次函数时，求的值．
17．已知点为二次函数图像上的点，求代数式的值．
18．抛物线y＝mx2﹣4m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知OC＝2OA．求：
（1）A，B两点的坐标；
（2）抛物线的解析式．
19．王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现,该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系:．若这种产品每天的销售利润为(元).求与之间的函数关系式．
20．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为ts，四边形APQC的面积为ymm2．
（1）y与t之间的函数关系式；
（2）求自变量t的取值范围；
（3）四边形APQC的面积能否等于172mm2．若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A C D C C C
1．B
【分析】根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答．
【详解】解：①，是二次函数；
②，是二次函数；
③，不是二次函数；
④，是一次函数；
∴以上式子中二次函数有2个．
故选B．
【点睛】此题考查了二次函数的概念，熟练掌握二次函数的概念是解答此题的关键．
2．B
【分析】根据二次函数的定义，只有一个自变量，且自变量的次数为二次，系数不能为零，即可求出答案．
【详解】解：根据题意得， ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，系数，解题的关键是理解二次函数的定义，二次项系数不能为零．
3．A
【分析】根据二次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、是二次函数，正确；
B、被开方数含自变量，不是二次函数，错误；
C、分母中含自变量，不是二次函数，错误；
D、a＝0时,＝0，不是二次函数，错误．
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的定义．一般地，把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.x为自变量，y为因变量，等号右边自变量的最高次数是2.
4．C
【分析】根据二次函数的定义即可解答．
【详解】解：由题意知，，解得：；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的二次项系数不等于0是解题的关键．
5．D
【分析】首先表示出原边长为6的正方形面积，再表示出边长增加x后正方形的面积，再根据面积随之增加y可列出方程．
【详解】原边长为6的正方形面积为：6×6=36，
边长增加x后边长变为：x+6，
则面积为：（x+6）2，
∴y=（x+6）2-36=x2+12x．
故选D．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积．
6．C
【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可．
【详解】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意；
、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意；
、当时，该函数为正比例函数，故符合题意；
、当该函数为二次函数时，，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
7．C
【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．
【详解】由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，
矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）．
故选：C．
【点睛】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键．
8．C
【详解】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得②③④是二次函数，故选C．
9．1
【分析】根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2+m=2，求出m即可．
【详解】解：∵函数y=（m+2）xm^2+m是关于x的二次函数，
∴m+2≠0且m2+m=2，
解得：m≠-2且m=-2，m=1，
∴m=1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了对二次函数的定义的理解和运用，注意：若y=axm+bx+c（a b c都是常数）是二次函数，那么a≠0且m=2．
10．s=x2+4x+4，1，4，4.
【分析】根据新正方形的面积=新边长2，以及二次项系数，一次项系数，常数项的定义，即可求解．
【详解】由题意函数方程式为：S=x2+4x+4，
则x2是二次项，x是一次项，4是常数项.
则1是二次项系数，一次项系数为4，常数项为4.
故填空分别为：s=x2+4x+4，1，4，4.
【点睛】本题考查了二次函数，解题的关键是根据实际问题列二次函数关系式.
11．S=4π
【分析】根据圆柱的表面积公式：圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积，可得答案．
【详解】解：圆柱的表面积S与底面半径r的函数关系式为S=2πr2+2πr r=4πr2．
故答案为：S=4πr2．
12．
【分析】直接代入已知点A求解即可.
【详解】解：代入已知点A得，-6=9a，解得a=，则函数解析式为：.
【点睛】本题考查了待定系数法求解函数解析式.
13．8
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线上的点的坐标适合解析式．
把（代入中，即可得到关于k的一元一次方程，解这个方程即可求得k的值．
【详解】解：∵二次函数经过点，
∴，
解得，
故答案为：8．
14．.
【分析】二次函数需满足两个条件，首先二次项系数不为零，其次次数为2，两个方程联立，即可求出m的值.
【详解】根据题意得，解得，故本题答案为4.
【点睛】本题考查了二次函数的性质及定义，将函数式给出的形式进行恒等变形，转化为解析式的标准形式是解决本题的关键.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可；
（2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：依题意有，
解得：，
∴k的值为3；
（2）把代入函数解析式中得：，
当时，，
∴y的值为．
【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键．
16．；或或．
【分析】（1）根据二次函数的定义得到m2+m-4=2且m+3≠0，由此求得m的值；
（2）根据一次函数的定义得到m2+m-4=0或m2+m-4=1或m+3=0，由此求得m的值．
【详解】依题意得：且．
即且，
解得；
依题意得：或或，
解得或或．
【点睛】二次函数的定义, 一次函数的定义．
17．25
【分析】根据点为二次函数图像上的点，得含的代数式，化简，即可．
【详解】∵点在二次函数图像上
∴
∴
∵
把代入得
故答案为：．
【点睛】本题考查了点在函数图象，整式的知识，解题的关键是掌握点在函数图象上的性质，整式的加减．
18．（1）A(﹣2，0)，B(2，0)；（2）y＝x2﹣4
【分析】（1）通过解方程mx ﹣4m＝0可得A、B点的坐标；
（2）先利用OA＝2得到OC＝4，所以|﹣4m|＝4，然后求出满足条件的m的值，从而得到抛物线解析式．
【详解】解：（1）当y＝0时，mx2﹣4m＝0，即x2﹣4＝0，解得x1＝2，x2＝﹣2，
∴A(﹣2，0)，B(2，0)；
（2）当x＝0时，y＝mx2﹣4m＝﹣4m，
∴C（0，﹣4m），
∵OA＝2，
∴OC＝2OA＝4，
∴|﹣4m|＝4，解得m＝1或m＝﹣1，
∵m＞0，
∴m＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
19．
【分析】利用单价利润总销售量=总利润.
【详解】.
.
20．（1）y＝4t2﹣24t+144；（2）0＜t＜6；（3）四边形APQC的面积不能等于172mm2，见解析.
【分析】（1）利用两个直角三角形的面积差求得答案即可；
（2）利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可；
（3）利用（1）的函数建立方程求解判断即可．
【详解】解：（1）∵出发时间为t，点P的速度为2mm/s，点Q的速度为4mm/s，
∴PB＝12﹣2t，BQ＝4t，
∴y＝×12×24﹣×（12﹣2t）×4t
＝4t2﹣24t+144．
（2）∵t＞0，12﹣2t＞0，
∴0＜t＜6．
（3）不能，
4t2﹣24t+144＝172，
解得：t1＝7，t2＝﹣1（不合题意，舍去）
因为0＜t＜6．所以t＝7不在范围内，
所以四边形APQC的面积不能等于172mm2．
【点睛】此题考查二次函数的实际运用，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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