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2024-2025 学年河北省张家口市高二下学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.现有 4 幅不同的油画，3 幅不同的国画，2 幅不同的水彩画，从这些画中选 1 幅布置房间，则不同的选
法共有( )
A. 9 种 B. 6 种 C. 12 种 D. 24 种
2.已知数列 的前 项和为 ，且 3 = 2 + 1，则 2 =( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
3.在( 5 1)5的展开式中， 2的系数为( )
A. 250 B. 500 C. 250 D. 500
4.已知各项均为正数的等比数列 的前 4 项和为 30，且 4 = 3 2 + 2 1，则 3 =( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
5.曲线 = ( ) = ln 2 + 1 在点(1, (1))处的切线方程为( )
A. = 3 3 B. = 2 2 C. = 1 D. = 0
6.已知直线 = 与函数 ( ) = e ， ( ) = 的图象分别交于点 、 ，当| |取得最小值时， =( )
A. 0 B. 1 C. e D. 1e
7.一个盒子中有 5 个白色乒乓球和 4 个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取 3 个乒乓球，记取出的 3 个乒乓球
中的颜色为橘黄色的个数为 ，则 ( ) =( )
A. 1 B. 2 C. 4 53 D. 3
8.将一根长为 3 的铁丝截成 9 段，使其组成一个正三棱柱的框架(铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和)，
则该正三棱柱的体积最大为( )
A. 3 3 3 336 B. 72 C. 108 D. 324
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记 为等差数列 的前 项和．已知 5 = 0, 5 = 6，则( )
2
A. 1 = 6 B. = 3 9 C. 2 = 4 D. =
3 15
2
10.已知函数 ( ) = (sin )2(sin + )，下列结论正确的是( )
A.若 ( )为奇函数，则 = 1
B. ( ) π的图象关于直线 = 2对称
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C.若 = 0 π π，则 ( )的单调递增区间为 2 + 2 π, 2 + 2 π , ∈
D.当 ∈ (3, + ∞)时， ( ) π在 2 + 2 π,
3π
2 + 2 π , ∈ 上单调递增
11.已知 min 1, 2, , 表示 1, 2, , 中最小的数，max 1, 2, , 表示 1, 2, , 中最大的数.若数列
， 都只有 8 项，且都是由数字 1，2，3，4，5，6，7，8 随机排列而成的(每个数字都出现，但不
重复出现)，记 = min max 1, 2, 3, 4 , max 5, 6, 7, 8 ， = max min 1, 2, 3, 4 , min 5, 6, 7, 8 ，
则( )
A. 的值可能为 4，5，6，7 B. 的值可能为 3，4，5，6
C. ≥ 6 6 1216的概率为7 D. > 的概率为1225
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 4.已知数列 的通项公式为 = + ，则 的最小项的值为 ．
13.将 6 名志愿者安排到 5 个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去 1 个小区，每个
小区至少安排 1 名志愿者，则不同的安排方法共有 种．
14.将数列{3 + 2}与{4 }中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列{ }，则
5 = ，{ }的前 202 项和为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = sin ．
(1)若 = 1，求曲线 = ( )在点 0, (0) 处的切线方程；
(2)若 ( ) 在( 2 , 2 )上恰有 2 个零点，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果：
单位：人
患病情况
服用情况
患病 不患病
服用中药预防方 100 900
不服用中药预防方 400 600
(1)从参与该实验的人中任选 1 人， 表示事件“选到的人服用中药预防方”， 表示事件“选到的人不患
病”.利用该调查数据，求 ( | ), | 的值．
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(2)以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取 1 人，连续抽 10 天，每天
抽取的结果相互独立，记这 10 天抽到的人中不患病的人数为 ，求 的期望．
17.(本小题 15 分)
设等比数列 的公比为 ，前 项和为 .令 = 1，数列 的前 项和为 ．
(1)若 2 1 2 + 3 = 0,2 2 = 2, > 0，求 的通项公式；
(2)若 2025 1 为等比数列，且 = ，求 ．2025 2
18.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = 2 , ( ) = ．
(1)求 ( )的极值；
(2)求 ( )的单调区间；
(3)若 ∈ (1, + ∞), ( ) > ( )，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止.抽奖的规
则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球(小球大小和质地相同)，取出红球，则不获奖，取出白球，则
获奖.刚开始盒子中有 2 个白球和 3 个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取 1 个球，若不获奖，则将球
放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖.若获奖，则将球放回后再往盒子中加 1 个红球，该顾客再继
续抽奖.若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖;若第
二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束.该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽
完前始终有顾客参与抽奖．
(1)求第 2 名和第 3 名顾客各抽中一份奖品的概率;
(2)求这两份奖品都被第 名顾客抽取的概率;
(3)求由第 名顾客终止抽奖活动的概率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13.1800
14.14；49609
15.解：(1)当 = 1，则 ( ) = sin + 1 ′， ( ) = sin + cos ，
所以曲线 = ( )在点 0, (0) ′处的切线的斜率为 = (0) = 0，
又因为 (0) = 1，因此曲线 = ( )在点 0, (0) 处的切线方程为 = 1；
(2) ( ) = sin ， ∈ π π ′2 , 2 ， ( ) = sin + cos ，
′
当 ∈ (0, 2 )时， > 0, > 0， ( ) > 0，

此时 ( )在(0, 2 )上单调递增，
当 ∈ ( 2 , 0)时， < 0, > 0，
′( ) < 0，
此时 ( )在( 2 , 0)上单调递减，
因此 ( )min = (0) = ，
若 ( )在( 2 ,

2 )上恰有 2 个零点，
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( 2 ) =

2 > 0
则必须满足：{ (0) = < 0 ,
( ) = 2 2 > 0

解得：0 < < 2，
所以实数 的取值范围为(0, 2 )．
16. 900+600 3解：(1)由题意可得 ( ) = 2000 = 4 , ( ) = 1 ( ) =
1
4，
( ) = 9002000 =
9
20 , ( ) =
100 1
2000 = 20．
故 ( ∣ ) = ( ) 3 ( ) 1 ( ) = 5 , ( ∣ ) = = ( ) 5．
(2) 1 900 9从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取 人，不患病的概率为1000 = 10．
由已知得 ～ 10, 910 ，
则 ( ) = 10 × 910 = 9．
17.解：(1)由题意得 2 21 + 21 = 1 2 1 + = 0,
所以 2 1 + = 0，即 = 2 1，
又 2 2 = 2，所以 2 1 + 2 = 1 + 2 = 1 1 + 2 1 = 2 1 + 2 2,
所以 2 = 1 = 2，结合 = 2 1，
所以 2 21 = 2，因为 > 0，解得： = 2, 1 = 1，
所以 的通项公式为： = 1 1 = 2 1；
(2)因为 为等比数列， = 1，
所以 2 22 = 1 3，即 2 1 = 1 1 3 1 ，
所以 1 + 2 1 2 = 1 1 1 + 2 + 3 1 ，
化简得( + 1)21 1 = ( 1 1) ( 1 + 1 + 21 1)，

故 1 = 1 ，则 1 = 1 ≠ 0, ≠ 1，所以 =
1 1
1 = 1
，
所以 = 1 = ，即 是首项为 ，公比为 的等比数列，
(1 )
故 = 1 ，
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2025
由 2025 =
1 1 1 1
2，可得：2025 (1 2025
= = ，
) 21
解得： = 2．
18.解：(1) ′( ) = 2 ln + = (2ln + 1)．
1 1
令 ′( ) > 0，解得 > e 2，令 ′( ) < 0，解得 0 < < e 2，
1 1
所以 ( )在 e 2, + ∞ 上单调递增，在 0, e 2 上单调递减，
1 1 1 1
所以 ( )在 = e 12处取得极小值，极小值为 ( 2) = ( 2)2 ( 2) = 2 ，无极大值．
(2) ( )的定义域为( ∞,0) ∪ (0, + ∞)．

′ 2
( ) = 2 ．
若 = 0，则 ( )为常函数，无单调区间．
若 ≠ 0，则 ′( ) < 0, ( )的单调递减区间为( ∞,0), (0, + ∞)，无单调递增区间．

(3)因为 ( ) > ( )，所以 2 > ，即 > = ．

令函数 ( ) = ln ，上式等价于 ( ) > ( )．
′( ) = ln + 1, ′( ) > 0 在(1, + ∞)上恒成立，所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增．

因为当 ∈ (0,1)时， ( ) < 0，当 ∈ (1, + ∞)时， ( ) > 0，所以 > ，即 < ln ．
因为 ( ) > (1) = 0，所以 ln > 0，所以 ≤ 0．
故 的取值范围是( ∞,0]．
19.解：(1)由题意得第 2 名和第 3 名顾客各抽中一份奖品，即第 1 名顾客抽取的是红球;
第 2 名顾客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是红球;第 3 名顾客抽取的是白球，
3 2 2 1 4
故第 2 名和第 3 名顾客各抽中一份奖品的概率为5 × 5 × 3 × 3 = 75．
(2) 2 1这两份奖品被第 1 名顾客抽走的概率为5 × 3，
3 2
被第 2 名顾客抽走的概率为5 × 5 ×
1
3，
3 3 2 1
被第 3 名顾客抽走的概率为5 × 5 × 5 × 3，
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3 1 2 1 2 3 1
以此类推被第 名顾客抽走的概率为 5 × 5 ×

3 = 15 × 5 ， ∈ ，
2 3 1
因此这两份奖品都被第 名顾客抽取的概率为15 × 5 , ∈
．
(3) 2设由第 名顾客终止抽奖活动的概率为 ，则 1 = 15，以下讨论 2 的情形．
3 1 2 1
若第 名顾客共抽取了两份奖品，则前面 1 名顾客都没有抽到奖品，其概率为 ′ = 5 × 5 × 3，
若第 名顾客抽取了一份奖品，设前面 1 名顾客中第 (1 1, , ∈ )名顾客抽取到了一份奖品，
1
则前面 1 3名顾客中无人获得奖品，其概率为 5 ，
2 2第 名顾客只获得一份奖品，其概率为5 × 3，
1
第 1 名顾客到第 1 2名顾客都没有获得奖品，其概率为 3 ，
所以第 名顾客抽取了一份奖品的概率为
1
1 3 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1
3
′′ = 5 × 5 × 3 × × =
5
3 3 5 × 3 × 3 × 2
=1 =1 3
9 1
2 1 2 1 1 9 1 2 1 2 1 1 10 4 2 1 3 1
= 5 × 3 × 3 × 10 = 5 × 3 × 3 × 9 = 3 [ 3 5 ].
=1 1 10
3 1 2 1 4 2 1 3 1 2 3
= ′ + ′′ = 5 × 5 × 3 + 3 [ 3 5 ] = 2[ 3 5 ].
当 = 1 时，也满足上式．
2 3
因此，由第 名顾客终止抽奖活动的概率为 2 3

5 , ∈ ．
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