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第4章 一元二次方程
九年级上册
4.1 一元二次方程
课前小测
1.什么是方程？
含有未知数的等式叫作方程.
2.什么是一元一次方程？
方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程叫作一元一次方程.
3.下列方程哪些是一元一次方程，哪些不是，为什么？
（1）-4x-8y=7 （2）
（3）-2(x+6)-4x=1 （4）8x +4x-3=0
（1）含有两个未知数，所以不是.
（4）未知数的次数不是1，所以不是.
（3）是一元一次方程.
（2）不是整式，所以不是一元一次方程.
情境引入
每年的6月7日是世界防治荒漠化和干旱日.联合国环境规划署的统计资料表明，目前世界荒漠化土地面积已超过3600万平方千米，占地球陆地面积的1/4，而且正以每年5至7万平方千米的速度急剧蔓延。我国是世界上荒漠化面积大、分布广、受危害最严重的国家之一.进入21世纪以来，随着防沙治沙事业的快速发展，我国土地荒漠化的防治工作.取得了举世瞩目的成绩，已处于世界领先地位.据国家林业局统计资料介绍，我国2000年共有荒漠化、沙化土地216.5万平方千米，2002年增长到267.24万平方千米。2004年我国荒漠化、沙化土地面积减少到263.6万平方千米，以后逐年减少.
（1）从2000年到2002年的两年间，我国荒漠化、沙化土地面积的年平均增长率是多少？
（2）从2002年到2004年的两年间，我国荒漠化、沙化土地的面积平均每年降低百分之几？
同学们学了这一章，这两个问题便可以得到解决.
合作探究
探究一：一元二次方程
问题1：
教室的面积为 54m2 ，长比宽的 2 倍少 3 m，如果要求出教室的长和宽，怎样根据问题中的数量关系列出方程？
可以得到方程____________________ .
设这个教室的宽为 x m，则它的长为 _________m .
x（ 2x - 3） = 54
(2x-3)
可以得到方程 __________________.
合作探究
探究一：一元二次方程
问题2：
直角三角形斜边的长为 11 cm，两条直角边的差为 7 cm . 如果要求出两条直角边的长，怎样根据问题中的数量关系列出方程？
x2 +（ x + 7）2 =112
设较短直角边的长为 x cm，由两条直角边的差为 7 cm 可知，较长直角边的
长是_____________ cm .
(x+7)
合作探究
探究一：一元二次方程
如下图，点 C 是线段 AB 上的一点，且
. 如果要求
的值，
怎样根据问题中的数量关系列出方程？
设 AB = 1， AC = x，由 AC + CB = AB 可知， CB 的长为_______ .
可以得到方程__________________ .
根据问题中的等量关系，
即 AC 2 = AB· CB，
1-x
x2 = 1 - x
问题3：
合作探究
探究一：一元二次方程
把它们分别进行整理，得
2x2 - 3x - 54 = 0，
x2 + 7x - 36 = 0，
x2 + x - 1 = 0 .
你发现方程①②③与整理后的三个方程有哪些共同特征？
1.只含有一个未知数;
3.整式方程．
2.未知数的最高次数是2;
归纳小结
一元二次方程的定义和一般形式
其中
ax2 称为二次项, a 称为二次项系数.
bx 称为一次项, b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
经过整理，一元二次方程都可以化为
ax2 + bx + c = 0（ a,b,c为常数，a ≠ 0）的形式，称为一元二次方程的一般形式，
方程的两边都是整式，它们都只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是 2，像这样的方程叫做一元二次方程.
归纳小结
一般式：ax2 + bx + c = 0（ a,b,c为常数，a ≠ 0）
3.当a ≠ 0，b=0，c=0时，则ax2=0，仍是一元二次方程.
2.当a ≠ 0，b=0时，则ax2+c=0，是一元二次方程；
当a=0，b≠ 0时，则bx+c=0，是一元一次方程；
同学们知道a不等于0的原因吗？b，c呢？
二次项为 x2，一次项为 7x，常数项为 -36；二次项系数为 1，一次项系数为 7 .

二次项为 2x2，一次项为 -3x，常数项为 -54；二次项系数为 2，一次项系数为 -3 .
合作探究
探究一：一元二次方程
问题4：
你能分别说出方程①②③化成一般形式后的二次项、一次项、常数项，以及二次项系数和
一次项系数吗？
注意：一元二次方程的项和系数一定要包括前面的符号.
二次项为 x2，一次项为 x，常数项为 -1；二次项系数为 1，一次项系数1 .
x2 + x - 1 = 0 .
x2 + 7x - 36 = 0，
2x2 - 3x - 54 = 0，
典例分析
[例1]
把方程（ 2x + 1）（ 3x - 2） = x2 + 2 化为一元二次方程的一般形式，
写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数.
解 将原方程去括号，得 6x2 + 3x - 4x - 2 = x2 + 2 .
移项，合并同类项，得 5x2 - x - 4 = 0 .
方程的二次项为 5x2，一次项为 -x，常数项为 -4；
二次项系数为 5，一次项系数为 -1 .
合作探究
探究二：估计一元二次方程的根
定义：一元二次方程的根
将数代入一元二次方程，使方程左右相等，则是方程的根，反之，不是.
使一元二次方程的两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根.
判断方法：
合作探究
探究二:估计一元二次方程的根
x 2 +（ x + 7） 2 = 112 . ②
你能估计出这个方程的根吗？
解：∵它一定为正值，并且小于斜边的长，
∴可以估计x的范围是0 < x < 11 .
∵直角边小于斜边的长，
∴x + 7 < 11，解得x < 4 ；
∵两直角边的和大于斜边，
∴x +（ x + 7） > 11，解得x > 2 .
∴可以估计x的范围是2 < x < 4 .
（1）要估计出方程 ② 的根，可以先估计出方程根的一个大致范围. 结合方程 ② 的实际意义，你能说出适合方程 ② 的 x 的一个大致范围吗？
合作探究
探究二:估计一元二次方程的根
（2）怎样才能进一步缩小估计的范围呢？
将方程 ② 化为 x 2 + 7x = 36 . ④
利用二分法，取 2 和 4 的中间值 3，分别计算当 x = 2， 3， 4 时，填写下表：
x 2 3 4
x 2 + 7x 18 30 44
与36比较 小于36 小于36 大于36
这说明，在 3 和 4 之间有方程 ④ 的根. 并由此可知，这个根的整数部分是 3.
合作探究
探究二:估计一元二次方程的根
（3）取 3 和 4 的中间值 3.5，借助计算器计算当 x = 3.5 时 x2 + 7x的值，并比较它的值与 36 的大小，填写下表：
x 3 3.5 4
x 2 + 7x
与36比较
这说明方程的根在哪两个数之间呢？
在3和3.5之间有方程的根.
36.75
大于36
30
小于36
44
大于36
合作探究
探究二:估计一元二次方程的根
（4）取 3 和 3.5 的中间值 3.3，重复以上过程，填写下表：
x 3 3.3 3.5
x 2 + 7x 30 36.75
与36比较 小于36 大于36
这说明方程的根在哪两个数之间呢？
在3.3和3.5之间有方程的根.
33.99
小于36
合作探究
探究二:估计一元二次方程的根
（5）同样地，再取 3.3 和 3.5 的中间值 3.4，填写下表：
x 3.3 3.4 3.5
x 2 + 7x 36.75
与36比较 大于36
33.99
小于36
35.36
小于36
这说明方程的根在哪两个数之间呢？
并由此可知这个根的十分位上的数字是 4，即x = 3.4
在3.4和3.5之间有方程的根.
合作探究
探究二:估计一元二次方程的根
于是，便求出了方程 ④ 的根的精确到 0.1 的近似值为 x ≈ 3.4 或 x ≈ 3.5 .
由于方程 ④ 的根就是方程 ② 的根，这样就能用估计的方法求出方程② 的根的精确到 0.01， 0.001， 的近似值.
借助计算器继续做下去，可以陆续确定方程 根的百分位、千分位上的数字
合作探究
探究二:估计一元二次方程的根
（6）如果不考虑方程 x2 + 7x = 36 的根的实际意义，你会估计方程的根吗？
∵x≥ 4时，方程的左边x 2 + 7x > 36，∴原方程不可能有大于或等于4的根.
> 36 . 所以在-12和0的之间还有原方程的根，这个根是负根.
当 x < 0 时， x 2 是正数， 7x 是负数. 当 x 的绝对值较大时，例如当 x= -12时， x 2 + 7x = 60
当 0 ≤ x ≤ 3 时， 0 ≤ x 2 + 7x < 36，∴原方程在 0 和 3 范围内也不可能有根.
这就是说，方程④有一个根在 3 和 4 之间，这个问题已在上面得到解决，并且不可能有其他的正根.
可以按照上面的“二分法”得到第二个根的估计值.
归纳小结
估算一元二次方程根的方法（二分法）步骤：
四.继续上一步，确定出百分位上的数字；
三.继续缩小范围，取中间值，确定出十分位上的数字；
二.取范围内的中间值，直到确定出根的整数部分；
一.先根据实际意义确定根的大致范围；
五.……
探究二：估算一元二次方程的根
[例2]
典例分析
根据方程x2-3x-5=0可列表如下
x -3 -2 -1 … 4 5 6
x2-3x-5 13 5 -1 … -1 5 13
则x的取值范围是（　 　）
A. -1分析：观察表格可知，x2-3x-5的值在-2至-1之间由正到负，在4至5之间由负到正，故可判断x2-3x-5=0时，对应的x的值在-2至-1之间或4至5之间.所以选D.
D
随堂检测
一元二次方程 课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
D
C
随堂检测
x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3
x2+px+q -15 -8.75 -2 -0.59 0.84 2.29
B
1
1
随堂检测
1
-5
-3
2021
课堂小结
1.一元二次方程的定义
方程的两边都是整式，它们都只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是 2，像这样的方程叫做一元二次方程.
3. 估计一元二次方程的根，采用“二分法”.
注意：一元二次方程的项和系数必须一定要包括前面的符号.
2. 一元二次方程的一般形式：ax2 + bx + c = 0（ a ≠ 0），其中
ax2 称为二次项, a 称为二次项系数.
bx 称为一次项, b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
作业布置
详见教材练习题
P126 T1-2
P128 T1-2
谢
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