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第十五章
轴对称
八年级数学人教版·上册
15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
教学目标
1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．(重点）
2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.
3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．（难点）
4.理解互逆命题与互逆定理.
新课导入
问题引入
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
新知探究
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
探究发现
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
一、线段垂直平分线的性质
新知探究
猜想：点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
新知探究
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
　证明：∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
　　 又 AC =CB，PC =PC，
　　 ∴ △PCA ≌△PCB（SAS），
　　 ∴ PA =PB．
P
A
B
l
C
验证结论
新知探究
例1 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝20cm，DE 垂直平分AB，垂足为E，交AC 于D，若△DBC 的周长为35cm，则BC 的长为(　　)
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
典例精析
C
新知探究
解析：∵△DBC 的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE 垂直平分AB，
∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.
∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35－20＝15(cm).
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
新知探究
练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB 的垂直平分线，点P 为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB 的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.如图②所示，在△ABC 中，BC=8cm,边AB 的垂直平分线交AB 于点D，交边AC 于点E, △BCE 的周长等于18cm,则AC的长是 .
B
10cm
P
A
B
C
D
图①
A
B
C
D
E
图②
新知探究
例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
A
B
C
D
E
K
已知：直线AB 和AB 外一点C .
求作：AB 的垂线，使它经过点C .
作法：（1）任意取一点K，使点K 和点C 在AB的两旁.
（2）以点C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和点E.
（4）作直线CF.
直线CF 就是所求作的垂线.
（3）分别以点D 和点E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F.
F
新知探究
（2）为什么要以大于 的长为半径作弧？
（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？
想一想：
（1）为什么任意取一点K ，使点K 与点C 在直线两旁？
新知探究
例3 如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.
B
A
C
M
N
M'
N'
P
PA=PB=PC
PB=PC
点P在线段BC的垂直平分线上
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
解析：
新知探究
证明：
∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，
∴PA=PB.
同理 PB=PC.
∴PA=PB=PC.
结论： 三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？
新知探究
例4 如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，E 为CD 的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE 交BC 的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC 可知∠ADC＝∠ECF，再根据
E 是CD 的中点可得出△ADE ≌△FCE，根据全等三角
形的性质即可解答．
(2)先根据线段垂直平分线的性质得出AB＝BF，再
结合（1）即可解答．
新知探究
证明：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠ECF.
∵E 是CD 的中点，
∴DE＝EC.
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE ≌△FCE，
∴FC＝AD.
(2)∵△ADE ≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF.
∵BE⊥AE，
∴BE 是线段AF 的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC＋CF.
∵AD＝CF，
∴AB＝BC＋AD.
新知探究
想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
P
A
B
合作探究
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
二、线段垂直平分线的判定
新知探究
证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C．
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
A
B
C
知识要点
线段垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：
∵　PA =PB，
∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
新知探究
　这些点能组成什么几何图形？
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
　 与A，B 的距离相等的点都在直线 l 上，所以直线 l 可以看成与A、B两点的距离相等的所有点的集合.
P
A
B
C
l
新知探究
新知探究
应用格式：
∵　AB =AC，MB =MC，
∴　直线AM 是线段BC 的垂直平分线．
A
B
C
D
M
这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法.
新知探究
例5 如图，点E是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE 是CD 的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：
∵OE 平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE.
∴ OE 是CD 的垂直平分线.
又∵OE=OE，
∴Rt△OED ≌Rt△OEC.
∴DO=CO.
从上面两个结论可以看出，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.
三、互逆命题与互逆定理
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
新知探究
分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？
新知探究
这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.在几何中，有许多互逆的定理.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理.
新知探究
课堂小结
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
互逆命题与互逆定理
课堂小测
1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　　）
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ ACB
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
D
2.在锐角三角形ABC 内一点P,满足PA=PB=PC,则点P 是△ABC ( )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
4.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）.
① ② ③
3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有　　　　种.
无数
课堂小测
课堂小测
5.如图，△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm.
A
B
C
D
E
16
课堂小测
6.下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来；如果没有，请举一个反例.
(1) 三角形的内角和等于180°；
(2) 如果a，b互为相反数，那么a + b = 0.
解：(1) 有逆定理，其逆定理为：如果一个多边形的内角和为180°，那么这个多边形为三角形；
(2) 有逆定理，其逆定理为：如果a + b = 0，那么a，b互为相反数.
课堂小测
7.如图所示，在△ABC中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，试说明AD与EF 的关系．
解：AD垂直平分EF.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.
又∵AD＝AD，
∴△ADE ≌△ADF，∴AE＝AF，DE＝DF.
∴A、D 均在线段EF 的垂直平分线上，
即直线AD 垂直平分线段EF.
A
B
C
D
E
F
课堂小测
8.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.
(1)找出图中相等的线段；
(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．
解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；
(2)由条件可证明△AOC ≌△AOD，可得AO 平分∠DAC，
根据角平分线的性质可得OE＝OF.
拓展提升：
课堂小测
解：(1)∵AB，CD互相垂直平分，
∴OC＝OD，AO＝OB，
且AC＝BC＝AD＝BD；
(2)OE＝OF. 理由如下：
在△AOC 和△AOD 中，
∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD，
∴△AOC ≌△AOD(SSS)，
∴∠CAO＝∠DAO.
又∵OE⊥AC，OF⊥AD，
∴OE＝OF.

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