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第十五章
轴对称
八年级数学人教版·上册
15.3.1 第1课时 等腰三角形的性质
教学目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点)
2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性
质解决相关问题.(难点)
新课导入
等腰三角形
情境引入
新课导入
定义及相关概念:有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作
顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
A
C
B
腰
腰
底边
角顶
底角
底角
新课导入
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？
互动探究
一、等腰三角形的性质1
新课导入
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
新知探究
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
新知探究
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段 重合的角
　
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？
说一说你的猜想.
新知探究
性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
A
B
C
D
猜想与验证
已知：△ABC 中，AB=AC .
求证：∠B=∠C.
证法1：作底边BC的中线AD.
在△ABD与△ACD中：
AB=AC（已知），
BD=DC（作图），
AD=AD（公共边），
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.
应用格式：
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
新知探究
证法2：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D.
∵AD平分∠BAC ，
∴∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中，
AB＝AC（已知），
∠1＝∠2（已证），
AD＝AD（公共边），
∴ △ABD ≌ △ACD（SAS），
∴ ∠B＝∠C.
A
B
C
D
(
(
1
2
新知探究
证法3：
作底边BC的高AD，交BC于点D.
∵AD⊥BC，
∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
AB＝AC（已知），
AD＝AD（公共边），
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），
∴ ∠B＝∠C.
A
B
C
D
新知探究
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求△ABC各角的度数.
典例精析
解析：（1）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠BDC与∠C、∠ABC呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °
∴ x+2x+2x=180 °.
新知探究
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 ° .
∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
新知探究
方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之
间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未
知数时，一般设较小的角的度数为x.
新知探究
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
解：∵AB=AD=DC
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC
设 ∠C=x，则 ∠DAC=x，
∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x，
在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得
2x+x+26°+x=180°，
解得x=38.5°.
∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.
针对训练：
新知探究
例2 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的度数是(　　)
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.
A
新知探究
方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是
底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
新知探究
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗
二、等腰三角形的性质2
新知探究
性质2 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合
（通常说成等腰三角形的“三线合一”）
A
B
C
D
(
(
1
2
填一填: 根据等腰三角形的性质定理2完成下列填空.
在△ABC中， 当AB=AC时，
(1)∵AD⊥BC,
∴∠_____ = ∠_____，____= ____.
(2)∵AD是中线，
∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.
(3)∵AD是角平分线，
∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
1
2
2
BD
CD
AD
BC
BD
1
BC
AD
CD
新知探究
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
不重合！
三线合一
为什么不一样
(
(
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.
2.等腰三角形的底角可能是锐角、直角或者钝角.
3.钝角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（X）
（X）
（X）
（X）
（√）
（√）
新知探究
判断正误：
例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
典例精析
图②
图①
新知探究
证明：
(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE.
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
图②
图①
G
新知探究
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其
顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
新知探究
课堂小结
等腰三角形
的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质
课堂小测
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　）
A．40° B．30° C．70° D．50°
A
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角的度数分别是（　　）
A．30°，60° B．45°，45°
C．45°，90° D．20°，70°
B
课堂小测
3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它另外的两个角为____ __；
(2)等腰三角形一个角为36°,它另外的两个角为____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它另外的两个角为_ ___ __.
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
课堂小测
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
A
B
C
70°或20°
注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
A
B
C
课堂小测
5.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点， ∠B = 30°，
求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数.
A
B
C
D
解：∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴ ∠C= ∠ B=30°，
∠BAD = ∠ DAC，∠ADC = 90°.
∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°.
∴ =60°.
课堂小测
6.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，
求证：EC∥DF.
∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.
证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE为底角的平分线，
∴

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