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第十五章
轴对称
八年级数学人教版·上册
15.3.1 第2课时 等腰三角形的判定
教学目标
1 .掌握等腰三角形的判定方法.（重点）
2.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计算.（难点）
新课导入
情境引入
在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
A
新课导入
A
B
C
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
互动探究
一、等腰三角形的判定
新课导入
如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系
建立数学模型：
C
A
B
做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？
AB=AC
你能验证你的结论吗？
新课导入
在△ABD与△ACD，
∠1=∠2，
∴ △ABD ≌ △ACD.
∠B=∠C，
AD=AD，
∴AB=AC.
过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC是等腰三角形.
新知探究
∴ AC=AB. ( )
即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C， ( )
知识要点
等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.
已知
等角对等边
在△ABC中，
应用格式：
B
C
A
(
(
这又是一个判定两条线段相等的根据之一.
新知探究
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2 ,
∴ BD=DC
（等角对等边）.
∵∠1=∠2,
∴ DC=BC
A
B
C
D
2
1
（等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图,下列推理正确吗
新知探究
典例精析
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知： 如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．
求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
A
B
C
E
（
（
1
2
D
新知探究
例2 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD
B
A
D
C
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
总结：平分角+平行=等腰三角形
新知探究
如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
B
C
A
D
E
变式训练：
是
由折叠可知，∠EBD=∠CBD.
∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.
新知探究
练一练：1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形
的是（ ）
A. ∠A＝50°，∠B＝70°
B. ∠A＝70°，∠B＝40°
C. ∠A＝30°，∠B＝90°
D. ∠A＝80°，∠B＝60°
B
2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______.
3cm
新知探究
例3 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.
a
h
作法：1.作线段AB=a.
2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D.
3.在MN上取一点C，使DC=h.
4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.
A
B
C
M
N
D
新知探究
例4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
A
B
C
D
E
F
新知探究
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等
再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结
论不一定成立．
新知探究
例5 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F. 探究EF、BE、FC之间的关系.
O
A
B
C
E
F
解：EF=BE+CF.
理由如下：∵ EF∥BC,
∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.
∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，
∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO，
∴BE＝OE，CF=OF，
∴ EF=EO+FO＝BE+CF.
A
B
C
O
E
F
若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？
新知探究
方法总结：判定线段之间的数量关系，一般做法是通过全等或利用“等角
对等边”，运用转化思想，解决问题.
课堂小结
等腰三角形
的判定
等角对等边
定义
注意是指同一个三角形中
有两边相等的三角形是等腰三角形
课堂小测
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 　 B．直角三角形 　
C．等腰三角形 　 D．等边三角形
C
A
课堂小测
1
3.如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
O
a
b
D
A
解析：（1）以O 为圆心OA长为半径画弧，与直线b有两个交点；
（2）以A为圆心OA长为半径画弧，与直线b有一个交点；
（3）作线段OA的垂直平分线，与直线b有一个交点.
课堂小测
4.如图，已知∠A=36°，∠ABD=36°，∠C=72°，则∠DBC=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有_______________________.
36°
72°
△ABC、
△DBA、
△BCD
A
B
C
D
5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_____.
9
第4题图
第5题图
课堂小测
6.如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔 C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°.
求从B处到灯塔C的距离.
解：∵∠NBC=∠A+∠C，
∴∠C=80°- 40°= 40°，
∴ ∠C = ∠A，
∴ BA=BC（等角对等边）.
∵AB=20×（12-10）=40(海里),
∴BC=40海里.
答：B处距离灯塔C40海里.
80°
40°
N
B
A
C
北
课堂小测
7.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D.
求证：BC＝CD.
证明：连接BD.
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB.
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，
即∠DBC=∠BDC，
∴BC=CD.

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