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第十六章
整式的乘法
八年级数学人教版·上册
16.1.2 幂的乘方与积的乘方
教学目标
1.理解并掌握幂的乘方法则和积的乘方法则.（重点）
2.会运用幂的乘方法则和积的乘方法则进行乘方的运算.（难点）
新课导入
情境引入
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体 .木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
V球= —πr3 ，
其中V是体积、r是球的半径
3
4
新课导入
10
103
＝边长2
＝边长×边长
S正
问题1 请分别求出下列两个正方形的面积？
互动探究
S小
＝10×10
＝102
＝103×103
S大
=（103）2
=
106
=
106
幂的乘方
新课导入
问题2 请根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空.
观察计算的结果，你能发现什么规律？证明你的猜想.
(32)3= ___ ×___ ×___
=3（ ）+（ ）+（ ）
=3（ ）×（ ）
=3（ ）
32
32
32
2
2
2
2
3
6
猜想：(am)n=_____.
amn
新知探究
证一证：
(am)n
幂的乘方法则
(am)n= amn　
(m，n都是正整数）
即幂的乘方，底数 ， 指数 .
不变
相乘
n个am
m m m
a a a ‥‥‥
=
n个m
m+m+m
‥‥‥
新知探究
例1 计算：
(1)（103）5 ；
解: (1) (103)5 = 103×5 = 1015；
(2) (a2)4 = a2×4 = a8；
(3) (am)2 =am·2=a2m；
(3)（am）2；
(2)（a2）4；
(4)-（x4）3；
(4) -(x4)3 =-x4×3=-x12.
(6) [(﹣x)4]3.
(5) [(x+y)2]3；
(5)[(x+y)2]3= (x+y)2×3 =(x+y)6；
(6)[(﹣x)4]3= (﹣x)4×3 = (﹣x)12 = x12.
新知探究
方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数
幂的乘法混淆.在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
新知探究
(-a5)2表示2个-a5相乘，结果没有负号.
比一比
(-a2)5和(-a5)2的结果相同吗 为什么
不相同.
(-a2)5表示5个-a2相乘，其结果带有负号.
n为偶数
n为奇偶数
新知探究
想一想：下面这道题该怎么进行计算呢？
幂的乘方:
＝(a6)4
=a24
[(y5)2]2=______=________
[(x5)m]n=______=________
练一练：
(y10)2
y20
(x5m)n
x5mn
新知探究
例2 计算：
典例精析
(1) (x4)3·x6;
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10.
解: (1) (x4)3·x6 =x12·x6= x18；
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10
= -a2·a2·a6＋a10
= -a10＋a10 = 0.
忆一忆有理数混合运算的顺序
先乘方，再乘除
先乘方，再乘除，最后算加减
底数的符号要统一
新知探究
方法总结：与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，
再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项．
新知探究
例3 已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.
(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n．
解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27.
(2)102n＝(10n)2＝22＝4.
(3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.
方法总结：此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可.
新知探究
(1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值；
(2)已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
解：(1) (x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729.
(2) ∵2x＋5y－3＝0，
∴2x＋5y＝3，
∴4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
变式训练
新知探究
例4 比较3500,4400,5300的大小.
解析：这三个幂的底数不同,指数也不相同,不能直接比较大小.通过观察,发现指数都是100的倍数,故可以考虑逆用幂的乘方法则.
解: 3500=(35)100=243100,
4400=(44)100=256100,
5300=(53)100=125100.
∵256100>243100>125100,
∴4400>3500>5300.
新知探究
方法总结：
比较底数大于1的幂的大小的方法有两种:
(1)底数相同,指数越大,幂就越大;
(2)指数相同,底数越大,幂就越大.
故在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，将其转化为同底数的幂或同指数的幂，然后再进行大小比较.
新知探究
问题1 下列两题有什么特点？
(1)
(2)
底数为两个因式相乘，积的形式.
这种形式为积的乘方.
我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？
互动探究
积的乘方
新知探究
同理：
（乘方的意义）
（乘法交换律、结合律）
（同底数幂相乘的法则）
问题2 根据乘方的意义及乘法交换律、结合律进行计算：
(ab)n =
新知探究
(ab) n= (ab)· (ab)· ··· ·(ab)
n个ab
=(a·a· ··· ·a)·(b·b· ··· ·b)
n个a
n个b
=anbn.
证明：
思考问题：积的乘方(ab)n =
猜想结论：
因此可得：(ab)n=anbn (n为正整数).
(ab)n=anbn (n为正整数)
推理验证
新知探究
积的乘方,等于把积的每一个因式分别 ,再把所得的幂 .
(ab)n = anbn （n为正整数）
想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？
(abc)n = anbncn （n为正整数）
知识要点
积的乘方法则
乘方
相乘
新知探究
例1 计算:
(1) (2a)3 ； (2) (-5b)3 ；
(3) (xy2)2 ； (4) (-2x3)4.
解：(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
= 8a3.
=-125b3.
=x2y4.
=16x12.
23a3
(-5)3b3
x2(y2)2
(-2)4(x3)4
典例精析
方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．
新知探究
计算：(1)(－5ab)3； (2)－(3x2y)2；
(3)(－3ab2c3)3； (4)(－xmy3m)2.
针对训练
(4)(－xmy3m)2＝(－1)2x2my6m＝x2my6m.
解：(1)(－5ab)3＝(－5)3a3b3＝－125a3b3.
(2)－(3x2y)2＝－32x4y2＝－9x4y2.
(3)(－3ab2c3)3＝(－3)3a3b6c9＝－27a3b6c9.
新知探究
×
√
×
(1)(3cd)3=9c3d3;
(2)(-3a3)2= -9a6;
(3)(-2x3y)3= -8x6y3;
×
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
(4)(-ab2)2= a2b4.
新知探究
例2 计算:
(1) －4xy2·(xy2)2·(－2x2)3；
(2) (－a3b6)2＋(－a2b4)3.
解：(1)原式=－4xy2·x2y4·(－8x6)
=32x9y6.
(2)原式=a6b12+(－a6b12)
=0.
新知探究
方法总结：涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，
最后算加减，然后合并同类项．
新知探究
如何简便计算(0.04)2004×[(-5)2004]2
议一议
=(0.22)2004 × 54008
=(0.2)4008 × 54008
=(0.2 ×5)4008
=14008
(0.04)2004×[(-5)2004]2
=1.
解法一：
=(0.04)2004 × [(-5)2]2004
=(0.04×25)2004
=12004
=1.
= (0.04)2004 ×(25)2004
(0.04)2004×[(-5)2004]2
解法二：
新知探究
方法总结：逆用积的乘方公式an·bn＝(ab)n.要灵活运用公式，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用此公式可
进行简便运算．
新知探究
解：原式
练一练 计算:
课堂小结
幂的乘方
法则
（am）n=amn (m,n都是正整数）
注意
幂的乘方，底数不变，指数相乘
幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：(am)n=amn;
am ﹒an=am+n
幂的乘方法则的逆用：
amn=(am)n=(an)m
课堂小结
幂的运算性质
性质
am·an=am+n (am)n=amn
(ab)n=anbn ( m，n都是正整数)
逆向运用
am+n=am · an
amn=(am)n
an·bn = (ab)n
可使某些计算简捷
注意
运用积的乘方法则时要注意：
公式中的a，b代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用（混合运算要注意运算顺序）
课堂小测
1．(x4)2等于 ( )
A．x6 B．x8
C．x16 D．2x4
B
2.下列各式的括号内，应填入b4的是( )
A．b12＝(　　)8 B．b12＝(　　)6
C．b12＝(　　)3 D．b12＝(　　)2
C
课堂小测
3．下列计算中，错误的是( )
A．[(a＋b)2]3＝(a＋b)6
B．[(a＋b)2]5＝(a＋b)7
C．[(a－b)3]n＝(a－b)3n
D．[(a－b)3]2＝(a－b)6
B
4．如果(9n)2＝312，那么n的值是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
B
课堂小测
6.下列运算正确的是（ ）
A. x.x2=x2 B. (xy)2=xy2
C.(x2)3=x6 D.x2+x2=x4
C
5.计算 (-x2y)2的结果是（　　）
A．x4y2 B．-x4y2
C．x2y2 D．-x2y2
A
课堂小测
7. 计算：(1) 82016×0.1252015= _____;
(2) ______;
(3) (0.04)2013×[(-5)2013]2=________.
8
-3
1
(1) (ab2)3=ab6 ( )
×
×
×
(2) (3xy)3=9x3y3 ( )
×
(3) (-2a2)2=-4a4 ( )
(4) -(-ab2)2=a2b4 ( )
8.判断:
课堂小测
(1) (ab)8 ; (2) (2m)3 ; (3) (-xy)5;
(4) (5ab2)3 ; (5) (2×102)2 ; (6) (-3×103)3.
9.计算:
解：(1)原式=a8b8.
(2)原式= 23 ·m3=8m3.
(3)原式=(-x)5 ·y5=-x5y5.
(4)原式=53 ·a3 ·(b2)3=125a3b6.
(5)原式=22 ×(102)2=4 ×104.
(6)原式=(-3)3 ×(103)3=-27 ×109=-2.7 ×1010.
课堂小测
（1） 2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7;
（2）(-2x3)3·(x2)2.
解：原式=2x6·x3-27x9+25x2·x7
= 2x9-27x9+25x9
= 0.
解：原式= -8x9·x4 =-8x13.
10.计算:
课堂小测
11．计算：
(1)5(a3)4－13(a6)2；
(2)7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2；
(3)[(x＋y)3]6＋[－(x＋y)2]9.
解：(1)原式＝5a12－13a12＝－8a12.
(2)原式＝－7x9·x7＋5x16－x16＝－3x16.
(3)原式＝(x＋y)18－(x＋y)18＝0.
12.已知a=355,b=444,c=533,试比较a，b，c的大小.
解: a=355=(35)11=24311,
b=444=(44)11=25611,
c=533=(53)11=12511.
∵256>243>125,
∴b>a>c.
课堂小测
课堂小测
13.已知3x+4y-5=0,求27x·81y的值.
解: ∵3x+4y-5=0,
∴3x+4y=5,
∴27x·81y=(33)x·(34)y
=33x·34y
=33x+4y
=35
=243.　

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