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第十六章
整式的乘法
八年级数学人教版·上册
16.3.1 平方差公式
教学目标
1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.（重点）
2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点）
新课导入
情境引入
多项式与多项式是如何相乘的？
(x ＋ 3)( x＋5)
=x2
＋5x
＋3x
＋15
=x2
＋8x
＋15.
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
新课导入
探究发现
a
5
5
a
(a-5)
你发现了什么？
平方差公式

(a-5)
a2 － 52
(a＋5)(a－5)
=
新课导入
①(x ＋ 1)( x－1)；
②(m ＋ 2)( m－2)；
③(2m＋ 1)(2m－1)；
④(5y ＋ z)(5y－z).
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
算一算：看谁算得又快又准.
新知探究
②(m＋ 2)( m－2)=m2 －22
③(2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 12
④(5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
①(x ＋1)( x－1)=x2 － 1，
想一想：这些计算结果有什么特点？
x2 － 12
m2－22
(2m)2 － 12
(5y)2 － z2
新知探究
(a+b)(a b)=
a2 b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
公式变形:
1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
知识要点
平方差公式
新知探究
平方差公式
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式．
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相同为a
相反为b，-b
适当交换
合理加括号
新知探究
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
填一填：
a
b
a2-b2
1
x
-3
a
12-x2
(-3)2-a2
a
1
a2-12
0.3x
1
( 0.3x)2-12
(a-b)(a+b)
新知探究
练一练：口答下列各题：
(l) (-a+b)(a+b)=_________.
(2) (a-b)(b+a)= __________.
(3) (-a-b)(-a+b)= ________.
(4) (a-b)(-a-b)= _________.
a2-b2
a2-b2
b2-a2
b2-a2
新知探究
典例精析
例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2)(-x+2y)(-x-2y).
(2) 原式＝ (-x)2 - (2y)2
＝x2 - 4y2.
解: (1) 原式=(3x)2－22
=9x2－4.
新知探究
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
新知探究
利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．
针对训练
解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25.
(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2.
(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.
新知探究
例2 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98
(2) (y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
= 1002-22
= 10000 – 4
=(100＋2)(100－2)
= 9996.
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.
新知探究
针对训练
计算:
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
解: (1) 原式=(50＋1)(50－1)
= 502-12
=2500 – 1
=2499.
(2) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)
= 9x2-16-6x2-5x+6
= 3x2-5x-10.
新知探究
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
原式＝5×12－5×22＝－15.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
新知探究
例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
解：原式＝9n2－1－(9－n2)
＝10n2－10.
∵(10n2－10)÷10=n2-1.
n为正整数，
∴n2-1为整数，
新知探究
方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在
探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判
断其是否具有整除性或倍数关系．
新知探究
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
∵a2＞a2－16，
解：李大妈吃亏了．
理由：原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.
∴李大妈吃亏了．
新知探究
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式
化简算式，解决问题．
课堂小结
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用
课堂小测
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
C
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（　　）
A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+1
A
3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．
10
课堂小测
（1）(a+3b)(a- 3b)；
=4a2－9.
=4x4－y2.
原式=(2a+3)(2a-3)
=a2－9b2 .
=(2a)2－32
原式=(-2x2 )2－y2
原式=(a)2－(3b)2
（2）(3+2a)(－3+2a)；
（3）(－2x2－y)(－2x2+y).
4.利用平方差公式计算：
课堂小测
5.计算： 20152 － 2014×2016.
解：
20152 － 2014×2016
= 20152 － (2015－1)(2015+1)
= 20152
－ (20152－12 )
= 20152
－ 20152+12
=1.
课堂小测
6.利用平方差公式计算:
(1) (a-2)(a+2)(a2 + 4);
解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4-y4)(x4+y4)
=x8-y8.
课堂小测
7.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.
解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3
=2x2－1.
将x＝2代入上式，
原式=2×22-1=7.
课堂小测
8.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4．
(2)根据你的猜想计算：
①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________.
1－xn+1
-63
2n＋1－2　
x100－1　
(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________(n为正整数)；
课堂小测
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a－b)(a＋b)＝________；
②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．
a2－b2　
a3－b3　
a4－b4　

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