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第十六章
整式的乘法
八年级数学人教版·上册
16.3.2 第1课时 完全平方公式
教学目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.（重点）
2.灵活应用完全平方公式进行计算.（难点）
新课导入
情景导入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
(a+b)2=a2+2ab+b2
a
a
b
b
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） (p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
（2） (m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
（3） (p-1)2=(p-1)(p-1)= .
p2-2p+1
（4） (m-2)2=(m-2)(m-2)= .
m2-4m+4
问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a-b)2= .
a2-2ab+b2
合作探究：
一、完全平方公式
新知探究
知识要点
完全平方公式
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a-b)2= .
a2-2ab+b2
也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，积的2倍放中央”
新知探究
问题3 你能根据图①和图②中的面积说明完全平方公式吗
b
a
a
b
b
a
b
a
图
图
新知探究
①
②
新知探究
几何解释:
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
新知探究
a2
ab
b(a b)
=
a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
几何解释:
(a-b)2= .
a2-2ab+b2
差的完全平方公式：
新知探究
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2= a2-2ab+b2.
问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
1.说一说积的次数和项数.
2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有什么关系？
3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a,b有什么关系？它的符号与什么有关？
二次
二次三项式
三项式
平方
乘积的2倍
新知探究
公式特征：
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同；
新知探究
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确,应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
新知探究
典例精析
例1 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
= 16m2
(1)(4m+n)2；
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
+ 8mn
+n2.
新知探究
(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2
y2
=y2
-y
+
+
-2 y
(2)
解： =
.
新知探究
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2.
针对训练：
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2.
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
新知探究
(1) 1022；
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 992.
992
= (100 –1)2
=10000 -200+1
=9801.
例2 运用完全平方公式计算：
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
新知探究
利用乘法公式计算：
(1)982－101×99； (2)20162－2016×4030＋20152.
针对训练：
＝(2016－2015)2＝1.
解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395.
(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152
新知探究
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36－16=20.
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy，
∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
＝20－16＝4.
新知探究
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy, (x－y)2＝(x+y)2－4xy.
课堂小结
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
常用
结论
2.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab
4ab=(a+b)2-(a-b)2
课堂小测
2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( )
A．(a－b)2 B．(－a－b)2
C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（　　）
A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
C．a2-4 D．a2-4a-4
A
D
课堂小测
3.运用完全平方公式计算:
(1) (6a+5b)2=_______________；
(2) (4x-3y)2=_______________ ；
(3) (2m-1)2 =_______________；
(4) (-2m-1)2 =_______________.
36a2+60ab+25b2
16x2-24xy+9y2
4m2+4m+1
4m2-4m+1
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．
25
课堂小测
5.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
6.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解：a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②.
由①-②得
4xy=48,
∴xy=12.

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