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第十七章
因式分解
八年级数学人教版·上册
17.2 第1课时 利用平方差公式分解因式
教学目标
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．（重点）
2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．（难点）
新课导入
情景导入
a米
b米
b米
a米
(a-b)
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
a2- b2=(a+b)(a-b)
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
一、用平方差公式进行因式分解
新知探究
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式.
两数是平方，
减号在中央．
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2
-(x2+y2)
y2-x2
（4）-x2+y2
（5）x2-25y2
(x+5y)(x-5y)
（6）m2-1
(m+1)(m-1)
新知探究
例1 分解因式：
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2 - b2 =
解:(1)原式=
2x
3
2x
2x
3
3
(2)原式=[(x+p)+(x+q) ] [(x+p)-(x+q) ]
a
b
新知探究
新知探究
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式还是多项式，
只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差
公式因式分解.
新知探究
分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
针对训练：
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
解：(1)原式＝(a ＋ b ＋ 2a)(a＋b － 2a)
＝(3a＋b) (b－a).
(2)原式＝ (3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝4(2m＋n)(m＋2n).
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
新知探究
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
20202－20192 =
(2mn)2 - ( 3xy)2 =
(x+z)2 - (y+p)2 =
考考你：
(2mn+3xy)(2mn - 3xy)
(2020+2019)(2020 - 2019)
(x+z+y+p) (x+z - y - p)
新知探究
例2 分解因式：
解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.
＝(x2+y2)(x+y)(x-y).
(2)原式＝ab(a2-1)
分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.
＝ab(a+1)(a-1).
新知探究
方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因
式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不
能再分解因式为止．
新知探究
分解因式：
(1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b.
针对训练：
＝(a＋2b)(a－2b－1).
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).
解：(1)原式＝5m2(a4－b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
新知探究
例3 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求 x-y，x，y的值．
∴x－y＝－2②.
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得
新知探究
方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，
通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
新知探究
例4 计算下列各题：
(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400.
(2)原式＝4×(53.52－46.52)
= 4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
新知探究
例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n 2=8n，
∵n为整数，
∴8n能被8整除，
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
课堂小结
平方差公式分解因式
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
课堂小测
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
D
2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（　　）
A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
D
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
A
课堂小测
4.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2=_________________;
(2) (a+b)2-(a-b)2=_________________;
(3) 9xy3-36x3y=_________________;
(4) -a4+16=_________________.
(4a+3b)(4a-3b)
4ab
9xy(y+2x)(y-2x)
(4+a2)(2+a)(2-a)
5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_____.
4
课堂小测
6.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
原式=-40×5=-200．
解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)(2m-3n)，
当4m+n=40，2m-3n=5时，
课堂小测
7.如图，在边长为6.8 cm的正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．
解：根据题意，得
6.82－4×1.62
＝6.82－ (2×1.6)2
＝6.82－3.22
＝(6.8＋3.2)(6.8 － 3.2)
＝10×3.6
＝36 (cm2)
答：剩余部分的面积为36 cm2.
课堂小测
8. (1)992-1能否被100整除？
解：(1)因为 992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
所以(2n+1)2-25能被4整除.
(2)n为整数,(2n+1)2-25能否被4整除？
所以992-1能被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2)，

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