资源简介

(共26张PPT)
第十七章
因式分解
八年级数学人教版·上册
17.2 第2课时 利用完全平方公式分解因式
教学目标
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点）
2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．（难点）
新课导入
回顾旧知
1.因式分解：
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
1.提公因式法
2.平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
新课导入
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
同学们拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
一、用完全平方公式分解因式
新课导入
这个大正方形的面积可以怎么求？
a2+2ab+b2
（a+b）2
=
（a+b）2
a2+2ab+b2
=
将上面的等式倒过来看，能得到：
a
b
a
b
a
ab
ab
b
新课导入
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫作完全平方式.
观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的±2倍
新知探究
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
完全平方式:
新知探究
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+ b2
±
= (a ± b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
新知探究
3.a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( )
2.m -6m+9=( ) - 2· ( ) ·( )+( ) =( )
1. x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( )
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
对照 a ±2ab+b =(a±b) ，填空：
m
m - 3
3
x
2
m
3
新知探究
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a ;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b 与-1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
新知探究
例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( )
A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
B
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3),故可知
N=(-3)2=9.
变式训练: 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
±8
典例精析:
新知探究
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所
在位置结合公式找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出
参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
新知探究
例2 分解因式：
（1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3 ,24x=2·4x·3,
所以16x2+24x+9是一个完全平方式，
即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2.
2
a
b
+b2
a2
(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为
-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.
新知探究
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2.
= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2
(2)-x2+ 4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
新知探究
例3 把下列各式分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)2-12(a+b)+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2.
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式.
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
新知探究
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多
项式分解因式，这种分解因式的方法叫作公式法.
新知探究
因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
(2)(a2＋4)2－16a2.
针对训练
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2.
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a＋2)2(a－2)2.
有公因式要先提公因式
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解
新知探究
例4 把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99 ；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=(100－99)
(2)原式＝(34＋16)2
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算
=1.
＝2500.
新知探究
例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
＝112＝121.
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
∴x－2＝0，y－5＝0，
∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0
新知探究
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的
和的形式，然后利用非负数性质解答问题．
课堂小结
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平
方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，
符号可正可负.
课堂小测
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．
B
B
1
4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________．
±4
课堂小测
5.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; （3） y2+2y+1－x2.
(2)原式=[2(2a+b)] － 2·2(2a+b)·1+(1)
=(4a+2b－1)2.
解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2
=(x－6)2.
(3)原式=(y+1) －x
=(y+1+x)(y+1－x).
课堂小测
(2)原式
6.计算：( 1 )38.92－2×38.9×48.9＋48.92;
解：(1)原式＝(38.9－48.9)2
＝100.
课堂小测
7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)
小聪和小明的解答过程如下：
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.
x2－2x＋3.
(2)原式＝ (x2－6x＋9)＝ (x－3)2.
解:(1)原式＝(2x)2＋2 2x 1＋1＝(2x+1)2.
小聪: 小明:
×
×
课堂小测
8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
原式＝2×52＝50.
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
　当ab＝2，a＋b＝5时，

展开更多......

收起↑