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第十八章
分式
八年级数学人教版·上册
18.5 第2课时 用分式方程解决实际问题
教学目标
1.理解数量关系正确列出分式方程.（难点）
2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.（重点）
新课导入
问题引入
1.解分式方程的基本思路是什么？
2.解分式方程有哪几个步骤？
3.验根有哪几种方法？
分式方程
整式方程
转化
去分母
一化二解三检验
有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法.
新课导入
4.我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？
基本上有4种：
（1）行程问题： 路程=速度×时间,以及它的两个变式；
（2）数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
（3）工程问题： 工作量=工时×工效,以及它的两个变式；
（4）利润问题： 批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；销售利润=定价一进价；打折销售利润=打折销售价一进价，利润率=利润÷进价.
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例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
表格法分析如下：
工作时间（月） 工作效率 工作总量（1）
甲队
乙队
等量关系：
甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
设乙单独完成这项工程需要x天.
一、列分式方程解决工程问题
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解：设乙单独完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是 ，根据题意得
即
方程两边都乘以6x,得
解得 x=1.
检验：当x=1时，6x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.
新知探究
想一想：本题的等量关系还可以怎么找？
甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”
此时表格怎么列，方程又怎么列呢？
工作时间（月） 工作效率 工作总量（1）
甲单独
两队合作
设乙单独完成这项工程需要x天，则乙队的工作效率是 甲队的工作效率是 ，合作的工作效率是 .
此时方程是
1
新知探究
工程问题
1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率；
2.通常间接设元，如× ×单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率；
4.解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是两个主人公工作总量之和=全部工作总量.
3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”；
新知探究
抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，
而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小
时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两
队单独完成全部工程各需多少小时？
解析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系
“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1“列方程．
做一做
新知探究
解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时．
由题意得 .
解得x＝6.
经检验x＝6是方程的解．∴x＋3＝9.
答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．
解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时
间上考虑相等关系．
新知探究
例2 朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了200公里时，发现小轿车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少千米/小时？
0
180
200
二、列分式方程解决行程问题
新知探究
路程 速度 时间
面包车
小轿车
200
180
x+10
x
分析：设小轿车的速度为x千米/小时
面包车的时间=小轿车的时间
等量关系：
列表格如下：
新知探究
解：设小轿车的速度为x千米/小时，则面包车速度为x+10千米/小时，依题意得
解得x＝90
经检验，x＝90是原方程的解，且x=90，x+10=100，符合题意.
答：面包车的速度为100千米/小时，小轿车的速度为90千米/小时.
注意两次检验:
(1)是否是所列方程的解;
(2)是否满足实际意义.
新知探究
做一做
1.小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在300公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速了多少千米/小时？
0
180
200
300
新知探究
解：设小轿车提速了x千米/小时，依题意得
解得x＝30
经检验，x＝30是原方程的解，且x=30，符合题意.
答：小轿车提速了30千米/小时.
新知探究
2.两车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在s公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速了多少千米/小时？
0
180
200
S
路程 速度 时间
面包车
小轿车
s-200
s-180
100
90+x
新知探究
解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得
解得x＝
新知探究
3.一辆小轿车提速后速度比提速前增加了xkm/h, 小轿车提速前行驶了skm，提速后比提速前多行驶了50km.已知小轿车提速前和提速后行驶的时间相同，求提速前小轿车的平均速度为多少km/h？
0
S
S+50
路程 速度 时间
提速前
提速后
s
s+50
v
x+v
新知探究
解：设小轿车提速前平均速度为v千米/小时， 依题意得
v
v
s
v
sx
v
sx
x,
v(x+v)≠0,
答：小轿车提速前平均速度为 .
新知探究
行程问题
1.注意关键词“提速”与“提速到”的区别；
2.明确两个“主人公”的行程问题中三个量，用代数式表示出来；
3.行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.
新知探究
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:清题意，并设未知数；
2.找:相等关系；
3.列:出方程；
4.解:这个分式方程；
5.验:根（包括两方面 :(1)是否是分式方程的根；
(2)是否符合题意）；
6.写:答案.
例3 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？
解析：根据第二次购买水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案；
新知探究
解：(1)设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，
根据题意得 ，
解得x＝6.
经检验，x＝6是原方程的解．
答：第一次水果的进价为每千克6元．
新知探究
(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
解析：(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售
价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．
(2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)．
第二次购买水果200＋20＝220(千克)．
第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，
第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)．
所以两次共赚钱400－12＝388(元)．
新知探究
课堂小结
分式方程的应用
类型
行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等
方法
步骤
一审二设三找四列五解六验七写
321法
课堂小测
1.几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每名同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为(　　)
A
课堂小测
2.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度.
x=－18（不合题意，舍去），
解：设船在静水中的速度为x千米/小时,根据题意得
解得 x=±18.
检验得 x=18.
答：船在静水中的速度为18千米/小时.
方程两边同乘(x-2)(x+2)得
80x+160 －80x+160=x2 －4.
课堂小测
3. 农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，
依题意，得
解得
x=15.
经检验，x=15是原方程的根.
由x＝15得3x=45.
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.
课堂小测
4.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？
.
.
课堂小测
解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋60)元，根据题意，列方程得
解得x＝100.经检验，x＝100是原方程的根，
当x＝100时，x＋60＝160.
答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．

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