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第13章
三角形中的边角关系、命题与证明
八年级数学沪科版·上册
13.1 第1课时 三角形中边的关系
新课引入
新知探究
埃及金字塔
新知探究
氨气分子结构示意图
飞机机翼
新知探究
问题：
（1）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑物到微小的分子结构，都有什么样的形象？
（2）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例.
（1）都有三角形.
（2）都有，如自行车架、高压线电线塔等.
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫作三角形.
问题2：三角形中有几条线段 有几个角
A
B
C
有三条线段，三个角
边：线段AB，BC，CA是三角形的边.
顶点：点A，B，C是三角形的顶点，
角：∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角，简称三角形的角.
新知探究
新知探究
记法：三角形ABC用符号表示为________.
边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为________.
△ABC
c，b，a
c
b
a
顶点C
角
角
角
顶点A
顶点B
新知探究
B
C
A
在△ABC中，
AB边所对的角是：
∠A所对的边是：
∠C
B C
再说几个对边与对角的关系试试.
三角形的对边与对角：
新知探究
辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？
不符合
不符合
不符合
新知探究
①位置关系：不在同一直线上；
②连接方式：首尾顺次连接.
三角形应满足以下两个条件：
表示方法：
三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，除此△ABC还可记作△BCA,
△ CAB, △ ACB等.
新知探究
腰
腰
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
底边
顶角
底角
底角
思考：你能找出下列三角形各自的特点吗？
新知探究
三条边各不相等的三角形叫作不等边三角形 ；
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形；
三条边都相等的三角形叫作等边三角形,又叫
作正三角形．
思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？
总结归纳
新知探究
三角形按边分类
不等边三角形
等腰三角形
三角形按照三边情况进行分类
腰和底不等的等腰三角形
等边三角形（三边都相等的等腰三角形）
新知探究
小明
我要到学校怎么走呀？哪一条路最近呀？
为什么？
邮局
学校
商店
小明家
最近
新知探究
A
B
C
路线1：沿从A到C再到B的路线走
路线2：沿线段AB走
请问：路线1、路线2哪条路程较短，你能说出根据吗？
路线2较短；两点之间线段最短.
由此可以得到：
新知探究
三角形任意两边的和大于第三边
想一想：由不等式的变形，三角形的两边之差与第三边有何关系？
三角形任意两边的差小于第三边
三角形三边的关系定理的理论根据是？
三角形的三边关系定理
两点之间，线段最短.
新知探究
例1 判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？
（1）3cm、8cm、4cm； （2）5cm、6cm、11cm；
（3）5cm、6cm、10cm.
判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.
解：（1）不能，因为3cm+4cm<8cm；
（2）不能，因为5cm+6cm=11cm；
（3）能，因为5cm+6cm>10cm.
归纳
新知探究
针对训练
一根木棒长为7，另一根木棒长为2，那么用长度为4
的木棒能和它们拼成三角形吗？长度为11的木棒呢？若不能拼成，则第三条边应在什么范围呢？
设x为三角形第三条边的长，则有两边之差解：设第三边长为x，则应有
7-2即5归纳
则用长度为4的木棒不能和它们拼成三角形，长度为11的木棒也不能和它们拼成三角形.第三边长的范围为5新知探究
例2 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么 ？
解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm,
x+2x+2x=18.
解得 x=3.6.
所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.
新知探究
(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，
所以需要分情况讨论.
①若底边长为4cm，设腰长为xcm,则有
4+2x=18.
解得 x=7.
②若腰长为4cm,设底边长为xcm，则有
2×4+x=18. 解得 x=10.
因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，
所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.
新知探究
例3 如图，D是△ABC 的边AC上一点，AD=BD，试判断AC 与BC 的大小.
解：在△BDC 中，
有 BD+DC >BC（三角形的
任意两边之和大于第三边）.
又因为 AD = BD，
则BD+DC = AD+DC = AC，
所以 AC >BC.
课堂小结
三角形
定义及其基本要素
顶点、角、边
按边分类
三边关系
原理
两点之间线段最短
内容
两边之和大于第三边
两边之差小于第三边
|a-b|b,x为第三边）
应用
不等边三角形
等腰三角形（包括等边三角形）
1.下列长度的三条线段能否组成三角形？
（1） 3，4，8 （ ）
（2） 2，5，6 （ ）
（3） 5，6，10 （ ）
（4） 3，5，8 （ ）
不能
能
能
不能
课堂小测
课堂小测
4.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,则这个等腰三角形的周长为______________.
3.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长为______________.
2.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三条线段为边长可以构成________个三角形.
3
22cm
18cm或21cm
课堂小测
5.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长.
解：设第三边长为x,根据三角形三边的关系，可得
7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，
又x为奇数，则第三边的长为7.
课堂小测
6.已知a、b、c为三角形的三边长，化简：|b+c-a|
+|b-c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|.
∴原式=|(b+c)-a|+|b-(c+a)|-|c-(a+b)|-|(a+c)-b|
=b+c-a+a+c-b-a-b+c+b-a-c
=2c-2a．
解：∵a、b、c为三角形三边的长，
∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，

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