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第13章
三角形中的边角关系、命题与证明
八年级数学沪科版·上册
13.1 第3课时 三角形中几条重要线段
新课引入
定义 图示
垂线
线段中点
角平分线
O
B
A
A
B
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线
新知探究
这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？
新知探究
问题1 如图，若BD是∠ABC的平分线，
你能得到什么结论？
A
D
C
B
∠ABD= ∠DBC
问题2 如图，若BD是△ABC的角平分线，
你能得到什么结论？
A
B
C
D
想一想：三角形的角平分线与
角的角平分线相同吗
相同点是 ∠ ABD= ∠ DBC;
不同点是前者是线段，后者是射线.
∠ABD= ∠DBC
新知探究
问题4 请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？
三条角平分线交于一点．
A
B
C
D
E
F
问题3 一个三角形有几条角平分线？
3
新知探究
思考：观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？
三角形的三条角平分线交于一点．
称之为三角形的内心．（后面会学到）
新知探究
例1 如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=
80°，求∠ECD的度数.
解：∵DC平分∠ACB,
又DE∥BC,
∴∠AED=∠ACB=80°.
∴∠ECD=40°.
∴∠ECD=∠BCD= ∠ACB.
新知探究
问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
A
C
B
AC=BC= AB
问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD称为△ABC的什么呢？类比一下.
A
B
C
D
新知探究
B
C
A
三角形的中线
∵ AD是△ ABC的中线，
∴ BD = CD = BC.
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作这个三角形的中线.
D
A
新知探究
画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
画图发现
三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
新知探究
例2 如图，CD为△ABC的边AB上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC=8cm，求边AC的长．
解：∵CD为△ABC的边AB上的中线，
∴AD=BD，
∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，
∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，
∴BC-AC=3，
∵BC=8，∴AC=5．
方法总结：一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差,
新知探究
【变式题】 在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．
解：如图，∵DB为△ABC的中线，
∴AD=CD，
设AD=CD=x，则AB=2x，
当x+2x=12时，解得x=4.
BC+x=15，得BC=11.
此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11；
当x+2x=15时，BC+x=12，解得x=5，BC=7，
此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7．
注意分类讨论
新知探究
问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？
定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高.
问题2 由三角形的高你能得到什么结论？
∠ADB= ∠ADC=90 °
A
B
C
D
垂足
注意:标明垂直的记号和垂足的字母.
新知探究
高的叙述方法（如图）：有三种.
②AD⊥BC,垂足为D.
③点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.
①AD是△ABC的高.
A
B
C
D
新知探究
锐角三角形的三条高
问题1 每人画一个锐角三角形.
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
O
问题2 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部
A
B
C
D
E
F
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
新知探究
直角三角形的三条高
问题：在纸上画出一个直角三角形.
A
B
C
(1)画出直角三角形的三条高.
直角边BC边上的高是______;
AB
直角边AB边上的高是 ;
CB
(2)它们有怎样的位置关系？
D
斜边AC边上的高是_______.
BD
●
直角三角形的三条高交于直角顶点.
新知探究
A
B
C
D
E
F
钝角三角形的三条高
问题：
(1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？
(2)它们所在的直线交于一点吗？
O
钝角三角形的三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高所在直线交于一点
新知探究
三角形的三条高的特性
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三条高所在直线的交点的位置
三角形
内部
直角顶点
三角形
外部
归纳总结
新知探究
【方法总结】若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.
例3 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.
解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值．
由△ABC的面积公式可知,
AD·BC＝ BP·AC.
代入数值，可解得BP＝ .
新知探究
问题1 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？
B
C
D
E
A
相等. 因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
问题2 通过问题1你能发现什么规律？
三角形的中线能将三角形的面积平分.
新知探究
例4 如图，在△ABC中，E是BC边上一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12. 求S△ADF－S△BEF的值.
∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，
即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
解：∵点D是AC的中点，∴AD＝ AC.
∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝ S△ABC＝6.
∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ S△ABC＝4.
【方法总结】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
课堂小结
三角形几条重要线段
高
钝角三角形两短边上的高的画法
中线
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差,面积相等
角平分线
注意区分角的平分线与三角形
的角平分线的区别
课堂小测
2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，
那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
B
D
课堂小测
3.如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法的正误.
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
①AD是△ABE的角平分线( )
②BE是△ABD边AD上的中线( )
③BE是△ABC边AC上的中线( )
④CH是△ACD边AD上的高( )
×
×
×
√
课堂小测
4. 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3cm，求AB与AC的长.
A
C
D
B
解：∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD.
∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm，∴AC+AB=35-11=24（cm）.
又∵△ABD与△ACD的周长之差为3cm,
∴AB-AC=3，
∴AB=13.5cm,AC=10.5cm.
5. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.
解： ∵ AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°.
∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°，
∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C)
=180°－90°－40°
=50°.
∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，
∴∠CAE= ∠BAC=41°，
∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°.
A
B
C
D
E
课堂小测

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