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第13章
三角形中的边角关系、命题与证明
八年级数学沪科版·上册
13.2 第1课时 命题
新课引入
上节课，我们在研究三角形性质时，通过折叠、剪拼或度量得到三角形三个内角的和是180°.
对于这个结果，有同学提出以下疑问：
在拼接时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个值.
度量三个角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°.
新知探究
怎么回答上面问题呢？
在学习几何时，需要观察和实验，同时也需要学会推理.从这一章起我们将系统学习用逻辑推理方法对几何中的结论进行论证.
新知探究
定义
观察下列语句：
1.无限不循环小数称为无理数；
2.两条边相等的三角形叫作等腰三角形；
3.三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
像这样能明确界定某个对象含义的语句叫作定义．
请你举出所熟知的一些定义例子.
新知探究
例如:
1.“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定义;
2. “两点之间线段的长度,叫作这两点之间的距离” 是“两点之间的距离”的定义;
3.“在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元一次方程” 是“一元一次方程”的定义.
新知探究
推理是一种思维活动．人们在思维活动中，常要对事物的情况作出种种判断．
例如：判断对错
(1)北京是中华人民共和国的首都;
(2)如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2;
(3)1+1<2；
(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数，
那么这个数能被3整除.
√
√
√
×
命题的定义及真、假命题、反例
新知探究
由此可见，我们对客观事物情况的判断可能是正确的，也可能是错误的．
命题：
可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题（也可以说：判断一件事情的语句叫作命题）
即：只要是判断的句子都是命题.
(1)你的作业做完了吗？
(2)欢迎前来参观！
(3)以点O为圆心，3cm长为半径画弧.
像这样对某一事件的对错没有给出任何判断就不是命题.
因此，祈使句、疑问句、感叹句都不是命题
新知探究
新知探究
1.如果一个三角形的三边相等，那么这个三角形是等边三角形；
2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
3.如果一个数是正数，那么这个数有两个平方根.
这些命题有什么共同的结构特征？
观察下列命题：
新知探究
如果一个三角形的三边相等，那么这个三角形是等边三角形；
命题都可以写成“如果……那么……”的形式；其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
条件（或题设）
结论（或题断）
已知事项
由已知事项推断
出来的事项
定义：
命题的一般形式：如果p，那么q（若p,则q ），
其中p是题设，q是结论.
新知探究
讨论：我们如何判断一个命题的真假？
要判断一个命题是真命题需要推理论证；要判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可.
例如：相等的两个角是对顶角.
1
2
反例：符合命题条件，但不符合命题结论的例子.
命题有真有假
正确的命题叫作真命题
错误的命题叫作假命题
命题的类型
新知探究
例1 下列句子都是命题吗？若是命题，那是真命题吗？
(1)熊猫没有翅膀.
如果一个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.
(2)对顶角相等.
如果两个角是对顶角，那么它们就相等.
(3)平行于同一条直线的两条直线平行.
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
都是命题
新知探究
例2 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
⑴同位角相等，两直线平行.
⑵三边相等的三角形是等边三角形.
条件是：
结论是：
改写成：
条件是：
结论是：
改写成：
同位角相等
两直线平行
　　如果一个三角形的三边相等，那么这个三角 形是等边三角形.
这个三角形是等边三角形
一个三角形的三边相等
　　如果同位角相等，那么两直线平行.
新知探究
例3 举反例说明下列命题是假命题.
（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
（2）若ab=0，则a+b=0.
解：（1）如：两条直线平行时的内错角，这两个角不是对顶角,但它们相等.
（2）如：当a=5，b=0时，ab=0，但a+b≠0.
新知探究
命题的一般形式：如果p，那么q（若p,则q ），
其中p是条件，q是结论.
“若p,则q ”中的条件和结论互换，便得到“若q，则p”.我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个是原命题，另一个叫作原命题的逆命题.
逆命题
新知探究
写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假.
（1）如果a=b，则a2=b2；
（2）等角的余角相等；
（3）同位角相等，两直线平行.
（1）如果a2=b2 ，则 a=b，假命题.
（2）如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等，
真命题.
（3）两直线平行，同位角相等，真命题.
问题：原命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题吗？
解：
当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.
新知探究
例4 写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题.
(1)若ac2＞bc2，则a＞b；
(2)若ab=0，则a=0.
解 ： (1)逆命题：若a＞b，则ac2＞bc2.
假命题，如c=0，ac2=bc2 .
(2)逆命题：若a=0，则ab=0.真命题.
课堂小结
命题
命题的概念：可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题.
命题的结构：由条件和结论两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式.
命题的分类：真命题和假命题.
逆命题：原命题为“如果p,那么q”,逆命题则为“如果q,那么p”.
１．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
⑴对顶角相等；
⑵画一个角等于已知角；
⑶两直线平行，同位角相等；
⑷a、b两条直线平行吗？
⑸温柔的李明明；
⑹玫瑰花是动物；
⑺若a2＝4，求a的值；
⑻若a2＝ b2，则a＝b；
不是
是
不是
不是
是
不是
是
是
(9)“八荣八耻”是我们做人的基本准则.
是
课堂小测
2.写出下列命题的逆命题，并判断命题的真假.
（1）如果a=b,那么|a|=|b|．( )
如果|a|=|b|，那么a=b．( 　 )
（2）等角的补角相等．( 　 )
如果两个角的补角相等，那么这两个角相等．( 　 )
（3）内错角相等，两直线平行．(　 )
两直线平行，内错角相等．( )
√
√
√
√
√
×
课堂小测
如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对
的边也相等.
3.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那
么……”的形式：
（1）在同一个三角形中，等角对等边；
（2）对顶角相等.
条件
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
条件
结论
结论
课堂小测

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