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第13章
三角形中的边角关系、命题与证明
八年级数学沪科版·上册
13.2 第2课时 证明
新课引入
观察与思考
图中的四边形是正方形吗？
新知探究
a
b
考考你的眼力
线段a与线段b哪个
比较长？
a
b
c
d
谁与线段d在
一条直线上？
新知探究
a
b
a
b
c
d
检验你的结论
a=b
新知探究
平行线:不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线!
你觉得观察得到的结论正确吗？
古希腊数学家欧几里得对数学知识作了系统的总结，把人们公认的真命题作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.
我们把少数真命题作为基本事实.
例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短等.
基本事实与定理
新知探究
新知探究
人们可以用定义和基本事实作为推理的依据，去判断其他命题的真假.
同位角相等，
两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据的真命题叫作定理.
基本事实
新知探究
证实其他命
题的正确性
推 理
推理的过程叫证明
经过证明的真命题叫定理
基本事实或公理
一些条件
+
定理证明的一般过程：
总结归纳
新知探究
费 马
对于所有自然数n， 的值都是质数.
当n=0，1，2，3，4时，
= 3，5，17，257，65 537
都是质数
欧 拉
当n=5时，
= 4 294 967 297=
641×6 700 417
举出反例是检验错误数学结论的有效方法.
大数学家也有失误
新知探究
这个故事告诉我们：
1. 学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度.
2.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确.
3.要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用方法.
新知探究
做一做：下列命题中，哪些正确，哪些错误？
（1）每一个月都有31天；
（2）如果a是有理数，那么a是整数;
（3）同位角相等；
（4）同角的补角相等.
错误
错误
错误
正确
你能说说你是怎么判断的吗？
证明与推理
新知探究
从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理（或演绎法）。演绎推理的过程，就是演绎证明.
新知探究
典例精析
证明：内错角相等，两直线平行.
例1 如图，直线c与直线a、b相交,且∠1=∠2.
求证：a∥b.
证明：∵∠1=∠2（已知），
∠1=∠3（对顶角相等），
∴∠2=∠3（等量代换），
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
3
2
1
a
b
c
符号“∵”读作“因为”，符号“∴”读作“所以”.
新知探究
证明： ∵ OE平分∠AOB，
OF平分∠BOC，
∴∠1= ∠AOB，∠2= ∠BOC.
又∵∠AOB, ∠BOC互为邻补角，
∴∠AOB+∠BOC=180°,
∴∠1+∠2= (∠AOB+∠BOC)=90°,
∴OE⊥OF.
例2 如图，∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB， OF平分∠BOC.求证：OE⊥OF.
A
O
C
E
B
F
1
2
课堂小结
证明
定理：经过证明的真命题称为定理.
演绎推理：从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理（或演绎法）.演绎推理的过程，就是演绎证明.
1.下列结论中你能肯定的是（ ）
A.今天下雨，明天必然还下雨
B.三个连续整数的积一定能被6整除
C.小明在数学竞赛中一定能获奖
D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人
B
课堂小测
2.下列问题用到推理的是（ ）
A.根据a=10，b=10,得到a=b
B.观察得到了三角形有三个角
C.老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘
D.由经验可知过两点有且只有一条直线
A
课堂小测
3.如图，直线AB与直线CD相交于点O，
∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC =∠BOD.
证明：
∴ ∠AOB与∠COD都是平角( ),
已知
平角的定义
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°,
补角的定义
∴ ∠AOC =∠BOD ( ).
同角的补角相等
∵直线AB与直线CD相交于点O ( ),
∠BOD＋∠AOD＝180°,
( )
课堂小测
4.如图，∠1=∠B，求证：∠2=∠C.
A
B
C
D
E
1
2
证明：∵∠1=∠B（ ）,
∴AE∥BC（ ）,
∴∠2=∠C（ ）.
已知
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
课堂小测

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