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第13章
三角形中的边角关系、命题与证明
八年级数学沪科版·上册
13.2 第3课时 三角形内角和定理及其推论
新课引入
我的形状最小，那我的内角和最小.
我的形状最大，那我的内角和最大.
不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧！
新知探究
思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢
折叠
还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？
新知探究
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
你能用数学的方法说明这个结论吗？
还有其他的拼接方法吗？
活动：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
三角形的内角和的证明
新知探究
三角形三个内角的和等于180°.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
新知探究
新知探究
C
B
A
E
D
F
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想：同学们还有其他的方法吗？
新知探究
思考：多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
新知探究
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三角形三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
新知探究
问题1：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°,即
∠A +∠B=90°.
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
三角形内角和定理的推论1、2
直角三角形的两锐角互余.
三角形内角和推论1：
由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论
新知探究
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．　　
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
总结归纳
新知探究
方法一（利用平行的判定和性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠D.
例1（1）如图 ，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A
与∠D有什么关系？
图
新知探究
解：∠A=∠C.理由如下：
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠C.
（2）如图 ，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与
∠C有什么关系？请说明理由.
图
与图 有哪些共同点与不同点？
新知探究
例2 如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
解：∠CAE= ∠DBE.理由如下：
在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °- ∠AEC.
在Rt△BDE中,
∠DBE=90 °- ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，∴ ∠CAE= ∠DBE.
新知探究
解：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠BEA=∠BDF=90°，
∴∠ABE+∠A=90°，
∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB.
∵∠DFB+∠BFC=180°，
∴∠A+∠BFC=180°.
【变式题】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于F，∠A与∠BFC又有什么关系？为什么？
新知探究
思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本
图形吗？
基本图形
∠A=∠C
∠A=∠D
总结归纳
新知探究
问题2：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC
是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
三角形内角和推论2：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
新知探究
A
B
C
应用格式：
在△ABC 中，
∵　∠A +∠B =90°，
∴　△ABC 是直角三角形．
有两个角互余的三角形是直角三角形.　　
总结归纳
新知探究
典例精析
例3 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三
角形吗？为什么？
A
C
B
D
E
(
(
1
2
解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °.
∵ ∠1= ∠2,
∴∠1 + ∠A=90 °.
即△ADE是直角三角形.
新知探究
例4 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，求证：△ABD是直角三角形.
证明：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
新知探究
问题3 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
新知探究
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
验证结论
新知探究
如图 ，试比较∠2 、∠1的大小；
如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.


图
图
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
拓展探究
新知探究
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
A
B
C
D
∠B+∠C=∠CAD
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
归纳总结
三角形内角和定理的推论
新知探究
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80 °
60 °
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50 °
32 °
(2)
∠1=40 °, ∠2=140 °
∠1=18 °, ∠2=130 °
新知探究
例5 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，
∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
E
新知探究
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
新知探究
【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，
∠C=30°，求∠BDC的度数.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
新知探究
A
B
C
D
(
(
20 °
30 °
解法一：连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结论？
新知探究
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
E
)
1
解法二：延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC
=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
)
2
F
解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
总结
课堂小结
三角形内角和定理的证明及推论
三角形内角和定理的证明
推论1：直角三角形的两锐角互余.
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另
一个锐角的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
B
2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是
（ 　　）
A．∠A+∠B=∠C
B．∠A-∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3
D．∠A=∠B=3∠C
D
课堂小测
3.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F
等于 （ ）
F
A
B
E
C
D
A.26°
B.63°
C.37°
D.60°
A
课堂小测
4.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________.
90°
5.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，
若∠BOD=38°，则∠A=________.
52°
第4题图
第5题图
6.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________.
直角三角形
课堂小测
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180 ,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E
= 180 .
7.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
课堂小测

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