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第3章　对圆的进一步认识
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.有下列四个命题:①圆既是轴对称图形又是中心对称图形;②平分弦的直径垂直平分弦并且平分弦所对的两条弧;③相等的圆周角所对的弧相等;④圆的切线垂直于过切点的半径.其中的真命题是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①④
2.(2024高密质检)在☉O中,AB,CD为两条弦,有下列说法:①若AB=CD,则=;②若=,则AB=CD;③若=2,则AB=2CD;④若 ∠AOB=2∠COD,则=2.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(2023杭州)如图,在☉O中,半径OA,OB互相垂直,点C在劣弧上.若∠ABC=19°,则∠BAC等于( )
A.23° B.24° C.25° D.26°
4.如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠C=120°,☉O的半径为3,则的长为( )
A.π B.2π C.3π D.6π
5.(2023江西)如图,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.(2022包头)如图,AB,CD是☉O的两条直径,E是劣弧的中点,连接BC,DE.若∠ABC=22°,则∠CDE的度数为( )
A.22° B.32° C.34° D.44°
7.(2022梧州)如图,☉O是△ABC的外接圆,且AB=AC,∠BAC=36°,在上取点D(不与点A,B重合),连接BD,AD,则∠BAD+∠ABD的度数是( )
A.60° B.62° C.72° D.73°
8.(2022铜仁)如图,在边长为6的正方形ABCD中,以BC为直径画半圆,则阴影部分的面积是( )
A.9 B.6 C.3 D.12
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在斜边AB上,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,与AC相交于点F,连接DE.若AC=8,BC=6,则DE的长是( )
A. B. C. D.
10.(2023达州)如图,四边形ABCD是边长为的正方形,曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的,其中,的圆心为A,半径为AD;的圆心为B,半径为BA1;的圆心为C,半径为CB1;的圆心为D,半径为DC1;….,,,,…的圆心依次为A,B,C,D循环,则的长是( )
A. B.2 023π C. D.2 022π
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(2022广东)若扇形的半径为2,圆心角为90°,则该扇形的面积为 .(结果保留π)
12.如图,在矩形ABCD中,BC=5,AB=2,☉O是以BC为直径的圆,则直线AD与☉O的位置关系是 .
13.(2023聊城期末)有一块三角板ABC,∠C为直角,∠ABC=30°,将它放置在☉O中,如图,点A,B在圆上,边BC经过圆心O,则劣弧的度数等于 °.
14.(2023绍兴)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=40°,连接AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是 .
15.(2023绥化)如图,☉O的半径为2 cm,AB为☉O的弦,点C为上的一点,将沿弦AB翻折,使点C与圆心O重合,则阴影部分的面积为 cm2.(结果保留π与根号)
16.(2023杭州)如图,六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形,设正六边形ABCDEF的面积为S1,△ACE的面积为S2,则= .
三、解答题(共52分)
17.(8分)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,D是的中点,若 ∠BAC=70°,求∠C的度数.
18.(8分)(2022湘潭)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,1),B(-4,0),C(-2,2).将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1.
(1)请写出A1,B1,C1三点的坐标:
A1 ,B1 ,C1 ;
(2)求点B旋转到点B1的弧长.
19.(8分)(2023绍兴)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,过点C作☉O的切线CD,交AB的延长线于点D,过点A作AE⊥CD于点E.
(1)若∠EAC=25°,求∠ACD的度数;
(2)若OB=2,BD=1,求CE的长.
20.(8分)(2023广西)如图,PO平分∠APD,PA与☉O相切于点A,延长AO交PD于点C,过点O作OB⊥PD,垂足为B.
(1)求证:PB是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为4,OC=5,求PA的长.
21.(8分)(2023临沂)如图,☉O是△ABC的外接圆,BD是☉O的直径,AB=AC,AE∥BC,E为BD的延长线与AE的交点.
(1)求证:AE是☉O的切线;
(2)若∠ABC=75°,BC=2,求的长.
22.(12分)(2023菏泽)如图,AB为☉O的直径,C是圆上一点,D是的中点,弦DE⊥AB,垂足为点F.
(1)求证:BC=DE;
(2)P是上一点,AC=6,BF=2,求tan∠BPC;
(3)在(2)的条件下,当CP是∠ACB的平分线时,求CP的长.第3章　对圆的进一步认识
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.有下列四个命题:①圆既是轴对称图形又是中心对称图形;②平分弦的直径垂直平分弦并且平分弦所对的两条弧;③相等的圆周角所对的弧相等;④圆的切线垂直于过切点的半径.其中的真命题是(　D　)
A.①② B.②③ C.①③ D.①④
2.(2024高密质检)在☉O中,AB,CD为两条弦,有下列说法:①若AB=CD,则=;②若=,则AB=CD;③若=2,则AB=2CD;④若 ∠AOB=2∠COD,则=2.其中正确的有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(2023杭州)如图,在☉O中,半径OA,OB互相垂直,点C在劣弧上.若∠ABC=19°,则∠BAC等于(D)
A.23° B.24° C.25° D.26°
4.如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠C=120°,☉O的半径为3,则的长为(B)
A.π B.2π C.3π D.6π
5.(2023江西)如图,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为(D)
A.3 B.4 C.5 D.6
6.(2022包头)如图,AB,CD是☉O的两条直径,E是劣弧的中点,连接BC,DE.若∠ABC=22°,则∠CDE的度数为(　C　)
A.22° B.32° C.34° D.44°
7.(2022梧州)如图,☉O是△ABC的外接圆,且AB=AC,∠BAC=36°,在上取点D(不与点A,B重合),连接BD,AD,则∠BAD+∠ABD的度数是(　C　)
A.60° B.62° C.72° D.73°
8.(2022铜仁)如图,在边长为6的正方形ABCD中,以BC为直径画半圆,则阴影部分的面积是(　A　)
A.9 B.6 C.3 D.12
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在斜边AB上,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,与AC相交于点F,连接DE.若AC=8,BC=6,则DE的长是(B)
A. B. C. D.
10.(2023达州)如图,四边形ABCD是边长为的正方形,曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的,其中,的圆心为A,半径为AD;的圆心为B,半径为BA1;的圆心为C,半径为CB1;的圆心为D,半径为DC1;….,,,,…的圆心依次为A,B,C,D循环,则的长是(A)
A. B.2 023π C. D.2 022π
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(2022广东)若扇形的半径为2,圆心角为90°,则该扇形的面积为　π　.(结果保留π)
12.如图,在矩形ABCD中,BC=5,AB=2,☉O是以BC为直径的圆,则直线AD与☉O的位置关系是　相交　.
13.(2023聊城期末)有一块三角板ABC,∠C为直角,∠ABC=30°,将它放置在☉O中,如图,点A,B在圆上,边BC经过圆心O,则劣弧的度数等于　120　°.
14.(2023绍兴)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=40°,连接AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是　10°或80°　.
15.(2023绥化)如图,☉O的半径为2 cm,AB为☉O的弦,点C为上的一点,将沿弦AB翻折,使点C与圆心O重合,则阴影部分的面积为　　cm2.(结果保留π与根号)
16.(2023杭州)如图,六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形,设正六边形ABCDEF的面积为S1,△ACE的面积为S2,则=　2　.
三、解答题(共52分)
17.(8分)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,D是的中点,若 ∠BAC=70°,求∠C的度数.
解:如图,连接AD.
∵D是的中点,
∴=,
∴∠1=∠2.
∵∠BAC=70°,
∴∠2=35°.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠B=90°-∠2=55°.
∵A,B,C,D四个点都在☉O上,
∴∠C+∠B=180°,
∴∠C=180°-∠B=125° .
18.(8分)(2022湘潭)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,1),B(-4,0),C(-2,2).将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1.
(1)请写出A1,B1,C1三点的坐标:
A1　　　　,B1　　　　,C1　　　　;
(2)求点B旋转到点B1的弧长.
解:(1)(1,1)　(0,4)　(2,2)
(2)由题意,知点B旋转到点B1的弧所在圆的半径为4,弧所对的圆心角为90°,
∴弧长为=2π.
19.(8分)(2023绍兴)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,过点C作☉O的切线CD,交AB的延长线于点D,过点A作AE⊥CD于点E.
(1)若∠EAC=25°,求∠ACD的度数;
(2)若OB=2,BD=1,求CE的长.
解:(1)∵AE⊥CD于点E,
∴∠AEC=90°,
∴∠ACD=∠AEC+∠EAC=90°+25°=115°.
(2)∵CD是☉O的切线,
∴OC⊥DE,∴∠OCD=90°.
∵OC=OB=2,BD=1,
∴OD=OB+BD=3,
∴在Rt△OCD中,CD==.
∵∠OCD=∠AEC=90°,∴OC∥AE,
∴=,∴=,
∴CE=.
20.(8分)(2023广西)如图,PO平分∠APD,PA与☉O相切于点A,延长AO交PD于点C,过点O作OB⊥PD,垂足为B.
(1)求证:PB是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为4,OC=5,求PA的长.
(1)证明:∵PA与☉O相切于点A,且OA是☉O的半径,∴PA⊥OA.
∵PO平分∠APD,OB⊥PD于点B,OA⊥PA于点A,
∴OB=OA,∴点B在☉O上.
∵OB是☉O的半径,且PB⊥OB,
∴PB是☉O的切线.
(2)解:∵OA=4,OC=5,
∴AC=OA+OC=4+5=9.
∵∠OBC=90°,OB=4,
∴BC===3.
∵tan∠ACP===,
∴PA=AC=×9=12,即PA的长是12.
21.(8分)(2023临沂)如图,☉O是△ABC的外接圆,BD是☉O的直径,AB=AC,AE∥BC,E为BD的延长线与AE的交点.
(1)求证:AE是☉O的切线;
(2)若∠ABC=75°,BC=2,求的长.
(1)证明:如图,连接并延长AO交BC于点F,连接OC,则OA=OB=OC,
∴∠OAB=∠OBA=,∠OAC=∠OCA=.
∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC.
∵∠AOB=2∠ACB,∠AOC=2∠ABC,
∴∠AOB=∠AOC,
∴=,
∴∠OAB=∠OAC,∴AF⊥BC.
∵AE∥BC,∴AE⊥OA.
∵OA是☉O的半径,且AE⊥OA,
∴AE是☉O的切线.
(2)解:∵∠ACB=∠ABC=75°,
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°,
∴∠BOC=2∠BAC=2×30°=60°,
∴△BOC是等边三角形,∠COD=180°-∠BOC=120°,
∴OC=BC=2,
∴的长为==.
22.(12分)(2023菏泽)如图,AB为☉O的直径,C是圆上一点,D是的中点,弦DE⊥AB,垂足为点F.
(1)求证:BC=DE;
(2)P是上一点,AC=6,BF=2,求tan∠BPC;
(3)在(2)的条件下,当CP是∠ACB的平分线时,求CP的长.
(1)证明:∵D是的中点,∴=.
∵DE⊥AB且AB为☉O的直径,
∴=,∴=,
①
∴BC=DE.
(2)解:如图①,连接OD.
∵=,∴∠CAB=∠DOB.
∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵DE⊥AB,∴∠DFO=90°,
∴△ACB∽△OFD,∴=.
设☉O的半径为r,则=,
解得r=5,经检验,r=5是方程的根,
∴AB=2r=10,
∴在Rt△ACB中,BC==8,
∴tan∠CAB===.
∵∠BPC=∠CAB,∴tan∠BPC=.
②
(3)解:如图②,过点B作BG⊥CP交CP于点G,
∴∠BGC=∠BGP=90°.
∵∠ACB=90°,CP是∠ACB的平分线,
∴∠ACP=∠BCP=45°,
∴∠CBG=45°,
∴CG=BG=BCcos 45°=4.
∵在Rt△PGB中,tan∠BPC=,∴=,
∴GP=3,
∴CP=4+3=7.

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