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1.1　相似多边形- 1.2　怎样判定三角形相似
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列说法中,不正确的是(　C　)
A.等边三角形都相似
B.等腰直角三角形都相似
C.矩形都相似
D.正八边形都相似
2.(2022哈尔滨)如图,AB∥CD,AC,BD相交于点E,AE=1,EC=2,DE=3,则BD的长为(　C　)
A. B.4 C. D.6
3.一个多边形的边长分别为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边为24,则这个多边形的最短边长为(　B　)
A.6 B.8 C.12 D.10
4.(2023沂源期末)如图,l1∥l2∥l3,根据“平行线分线段成比例定理”,下列式子中正确的是(　D　)
A.= B.=
C.= D.=
5.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,当△ACP∽△PDB时,∠APB的度数为(　B　)
A.100° B.120° C.115° D.135°
6.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,有△ABC和△EDF,两三角形的顶点均在格点上,则∠ABC+∠ACB的度数为(D)
A.135° B.90°
C.60° D.45°
7.(2023烟台期末)如图,点D在等腰Rt△ABC的斜边BC上,以AD为腰作等腰Rt△ADE,斜边AE交BC于点F,则图中的相似三角形有(C)
A.3对 B.4对
C.5对 D.6对
8.(2024莘县质检)如图,在△ABC中,∠BAC=45°,BD,CE分别是边AC,AB上的高,连接DE.若BC=2,则DE的长为(C)
A. B.
C. D.
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024高密质检)如图,装裱一幅宽40 cm、长60 cm的矩形画,要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似,装裱上去的部分的上下的宽都为15 cm.若装裱上去的左右部分的宽都为x cm,则x=　10　.
10.如图,直线l1,l2,…,l6是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线m,n,射线m与直线l3,l6分别相交于点B,C,射线n与直线l3,l6分别相交于点D,E.若BD=1,则CE的长为　　.
11.(2022北京)如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,=,则AE的长为　1　.
12.如图,在△ABC中,D为AB边上一点,△CBD∽△ACD,AD=6,BD=9,那么AC的长等于　3　.
13.在如图的网格纸中,每个小正方形都相同,A,B,C,D都是格点,AB与CD相交于点M,则AM∶BM=　5∶12　.
14.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=16 cm,AC=12 cm,点P从点B出发,沿BC以2 cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发,以1 cm/s的速度向点A移动.若点P,Q分别从点B,C同时出发,设运动时间为t s,当t=　或　时,△CPQ与△CBA相似.
三、解答题(共44分)
15.(8分)如图,为测量操场上旗杆的高度,小明拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到他站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是40 cm,镜面中心C到旗杆底部D的距离为5 m.已知小明同学的身高是1.66 m,眼睛位置A距离小明头顶的距离是6 cm,求出旗杆DE的高度.
解:∵∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD,∴△ABC∽△EDC,
∴=,即=,
解得DE=2 000 cm,2 000 cm=20 m,
∴旗杆DE的高度为20 m.
16.(8分)(2023潍坊模拟)如图,直角三角尺的直角顶点与矩形ABCD的顶点A重合,两直角边分别与CB的延长线、DC交于点E,F.求证:△ABE∽△ADF.
证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠ABC=∠BAD=∠D=90°.
∵∠ABE+∠ABC=180°,
∴∠ABE=90°.∴∠ABE=∠D.
∵∠EAF=90°,
∴∠EAB+∠BAF=90°.
又∵∠BAF+∠FAD=∠BAD=90°,
∴∠EAB=∠FAD.
∴△ABE∽△ADF.
17.(12分)(2023上海)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点F,E分别在线段BC,AC上,且∠FAC=∠ADE,AC=AD.
(1)求证:AF=DE;
(2)若∠ABC=∠CDE,求证:AF2=BF·CE.
证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ACF=∠DAC.
又∵∠FAC=∠ADE,AC=AD,
∴△ACF≌△DAE(ASA),
∴AF=DE.
(2)∵△ACF≌△DAE,
∴∠AFC=∠DEA,∴∠AFB=∠DEC.
∵∠ABC=∠CDE,∴△ABF∽△CDE,
∴=,∴AF·DE=BF·CE.
∵AF=DE,∴AF2=BF·CE.
18.(16分)(2024南阳质检)请阅读以下材料,并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.
如图①,在△ABC中,AD平分∠BAC,则=.下面是这个定理的部分证明过程.
① ② ③
证明:如图②,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E,
∴∠BAD=∠E,∠CAD=∠ACE……
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明过程的剩余部分.
(2)如图①,在△ABC中,AD是角平分线,若AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm,求BD的长.
(3)如图③,在△ABC中,E是BC中点,AD是∠BAC的平分线,EF∥AD交AB于点F,若AB=11,AC=9,直接写出线段BF的长.
解:(1)如题图②,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E,
∴∠BAD=∠E,∠CAD=∠ACE,=.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,
∴∠ACE=∠E,∴AE=AC,
∴=.
(2)∵AD是角平分线,
∴=.
∵AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm,
∴=,
解得BD= cm.经检验符合题意.
(3)∵AD是角平分线,
∴==,
∴CD=,
∴BC=CD+BD=+BD=BD.
∵E是BC中点,
∴CE=EB=BD.
∵EF∥AD,
∴===,
∴BF=AB=10.1.1　相似多边形- 1.2　怎样判定三角形相似
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列说法中,不正确的是( )
A.等边三角形都相似
B.等腰直角三角形都相似
C.矩形都相似
D.正八边形都相似
2.(2022哈尔滨)如图,AB∥CD,AC,BD相交于点E,AE=1,EC=2,DE=3,则BD的长为( )
A. B.4 C. D.6
3.一个多边形的边长分别为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边为24,则这个多边形的最短边长为( )
A.6 B.8 C.12 D.10
4.(2023沂源期末)如图,l1∥l2∥l3,根据“平行线分线段成比例定理”,下列式子中正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=
5.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,当△ACP∽△PDB时,∠APB的度数为( )
A.100° B.120° C.115° D.135°
6.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,有△ABC和△EDF,两三角形的顶点均在格点上,则∠ABC+∠ACB的度数为( )
A.135° B.90°
C.60° D.45°
7.(2023烟台期末)如图,点D在等腰Rt△ABC的斜边BC上,以AD为腰作等腰Rt△ADE,斜边AE交BC于点F,则图中的相似三角形有( )
A.3对 B.4对
C.5对 D.6对
8.(2024莘县质检)如图,在△ABC中,∠BAC=45°,BD,CE分别是边AC,AB上的高,连接DE.若BC=2,则DE的长为( )
A. B.
C. D.
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024高密质检)如图,装裱一幅宽40 cm、长60 cm的矩形画,要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似,装裱上去的部分的上下的宽都为15 cm.若装裱上去的左右部分的宽都为x cm,则x= .
10.如图,直线l1,l2,…,l6是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线m,n,射线m与直线l3,l6分别相交于点B,C,射线n与直线l3,l6分别相交于点D,E.若BD=1,则CE的长为 .
11.(2022北京)如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,=,则AE的长为 .
12.如图,在△ABC中,D为AB边上一点,△CBD∽△ACD,AD=6,BD=9,那么AC的长等于 .
13.在如图的网格纸中,每个小正方形都相同,A,B,C,D都是格点,AB与CD相交于点M,则AM∶BM= .
14.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=16 cm,AC=12 cm,点P从点B出发,沿BC以2 cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发,以1 cm/s的速度向点A移动.若点P,Q分别从点B,C同时出发,设运动时间为t s,当t= 时,△CPQ与△CBA相似.
三、解答题(共44分)
15.(8分)如图,为测量操场上旗杆的高度,小明拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到他站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是40 cm,镜面中心C到旗杆底部D的距离为5 m.已知小明同学的身高是1.66 m,眼睛位置A距离小明头顶的距离是6 cm,求出旗杆DE的高度.
16.(8分)(2023潍坊模拟)如图,直角三角尺的直角顶点与矩形ABCD的顶点A重合,两直角边分别与CB的延长线、DC交于点E,F.求证:△ABE∽△ADF.
17.(12分)(2023上海)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点F,E分别在线段BC,AC上,且∠FAC=∠ADE,AC=AD.
(1)求证:AF=DE;
(2)若∠ABC=∠CDE,求证:AF2=BF·CE.
18.(16分)(2024南阳质检)请阅读以下材料,并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.
如图①,在△ABC中,AD平分∠BAC,则=.下面是这个定理的部分证明过程.
① ② ③
证明:如图②,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E,
∴∠BAD=∠E,∠CAD=∠ACE……
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明过程的剩余部分.
(2)如图①,在△ABC中,AD是角平分线,若AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm,求BD的长.
(3)如图③,在△ABC中,E是BC中点,AD是∠BAC的平分线,EF∥AD交AB于点F,若AB=11,AC=9,直接写出线段BF的长.

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